$n$元不等式

绝艺如君

设 $n\ge 2$ 是一个正整数,$a_1,a_2,\cdots ,a_n;b_1,b_2,\cdots ,b_n\ge 0$.
证明:$\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1} \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n a_i^2+\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n b_i\right){}^2\geq \prod _{i=1}^n \left(a_i^2+b_i^2\right){}^{\frac{1}{n}}$.

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我的一个思路是用函数做，不知道大家有什么好的想法？