高三数列一题 $a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac1{a_n}$

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$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n},n\in N^+                                                            $
$1.proof:a_n<a_{n+1}.                                                                                              $
$2.proof:\sqrt{2n-1}\le a_n \le \sqrt{3n-2} .$
$3.求正整数m,使\abs{a_{2017}-m}最小.           $

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1.2数学归纳法可以完成.
3.直接2结果，“太粗糙了”,所以试着去改进2，希望得到一个更紧凑的不等式.
利用pascal程序得出$a_{2017}=63.5572848$左右，而$\sqrt{2*2017-1}=63.5059$
可见问题2的左端估计其实足够估计了.右端太粗糙了.又，这些没法作为理由，学生也没这个条件去这样尝试的.

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3.先用数学归纳法证明
$\sqrt{2n-1}\le a_n\le \sqrt{2n+\sqrt{n}}---①$,如果成立
那么$63.5058\le a_{2017}\le 63.8665$,所以m=64.也要用计算器按下这个值，所以我应该还是没发现更好的办法.
以下用数学归纳法证明①.
n=1时，显然有①成立，假设n=k时，①成立
那么由$y=x+\frac{1}{x},x>1$为增函数，即要证明
\[\sqrt{2n+2+\sqrt{n+1}}\le \sqrt{2n+\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{2n+\sqrt{n}}}\]

色k

看看《撸题集》题目6.10.73可能有用

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回复 4# 色k
来自楼上提的部分

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数学归纳法就不写了，用5楼提的得到
$a_{2017}^2<1+2\times 2017+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{4033}$
其中
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n}=(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n})>2(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1})$
即$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}<\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n})$
$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{4033}<1+0.5(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4044})$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4044}=(\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+(\frac{1}{9}+...+\frac{1}{16})+...<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=6$
所以$4033<a_{2017}^2<4042$
按计算器得到$\sqrt{4033}=63.50591,\sqrt{4042}=63.57637$
所以m=64

其妙

可以参看公众号：
1.朱斌老师和梁毅老师
2.王永喜老师
3.骆来根老师
4.王永喜老师对一道普特南数学竞赛题的推广
。

abababa

回复 7# 其妙

谢谢，不过不是这题，而是我从这帖学会了怎么用电脑看微信