再来一道变态的放缩

力工

$b_n=\dfrac{1}{3n-2}$,证明：$b_n$+$b_{n+1}$+$\cdots$ +$b_{n^2}$ $\geqslant $ $\dfrac{1}{3}$.

kuing

$b_n=\dfrac{1}{3n-2}$,证明：$b_n$+$b_{n+1}$+$\cdots$ +$b_{n^2}$ $\geqslant $ $\dfrac{1}{3}$.
力工 发表于 2017-2-27 15:39

一个公式只需两边各一个 \$ 即可：
\$b_n+b_{n+1}+\cdots +b_{n^2}\geqslant\dfrac{1}{3}\$
而不用
\$b_n\$+\$b_{n+1}\$+\$\cdots\$ +\$b_{n^2}\$\$\geqslant \$\$\dfrac{1}{3}\$
这样会累死人的。

这题一点也不变态啊，令 $S_n=b_n+b_{n+1}+\cdots +b_{n^2}$，则
\[
S_{n+1}-S_n=b_{n^2+1}+b_{n^2+2}+\cdots +b_{(n+1)^2}-b_n > (2n+1)b_{(n+1)^2}-b_n=\frac{3n^2-7n-3}{(3n-2)(3n^2+6n+1)},
\]
当 $n\ge3$ 时上式为正，所以只需验证 n=1,2,3 成立即可。

力工

回复 2# kuing


   kuing好！ 知道了，我没有刀勒，所以多用点$..
这种利用单调性判断是一种很简单的方法，我想是不是直接放缩。另外忘了$n\geqslant$2.

kuing

这种利用单调性判断是一种很简单的方法，我想是不是直接放缩。另外忘了$n\geqslant$2.
力工 发表于 2017-2-27 16:47

既然题目这么弱，必然可以直接放缩。
易证对任意 $m,n\inN^+$ 有 $b_m+b_n\geqslant 4/(3m+3n-4)$，令 $S_n=b_n+b_{n+1}+\cdots +b_{n^2}$，倒序相加得
\[2S_n=(b_n+b_{n^2})+(b_{n+1}+b_{n^2-1})+\cdots+(b_{n^2}+b_n)
\geqslant (n^2-n+1)\cdot\frac4{3(n+n^2)-4},\]
所以
\[S_n\geqslant \frac{2(n^2-n+1)}{3n^2+3n-4}
=\frac23-\frac8{20+6n-7+\frac{43}{6n-7}}
>\frac23-\frac8{20+2\sqrt{43}}
>\frac23-\frac8{20+12}
=\frac5{12}>\frac13.\]

kuing

更紧致的话，先证明
\[b_n>\frac13\ln\frac{3n+1}{3n-2},\]
故
\[b_n+b_{n+1}+\cdots +b_{n^2}
>\frac13\ln\frac{3n^2+1}{3n-2}
=\frac13\ln\left(\frac{13}4+\frac{3(n-2)(4n-5)}{4(3n-2)}\right)
>\frac13\ln3
>\frac13.\]

当 $n\geqslant3$ 时此式强于楼上的式子，所以说这个放缩更紧致。

力工

感谢，达到了我问的目的，本来我也是想倒序算算，可是不知道如何倒，倒向哪。你这是什么脑袋啊？回复 5# kuing

kuing

利用5楼的放缩，我们还可以发现，其实不需要加到第 $n^2$ 项，只需加到第 $3n-2$ 项就足够了（显然 $n^2\geqslant 3n-2$），即
\[b_n+b_{n+1}+\cdots +b_{n^2}
\geqslant b_n+b_{n+1}+\cdots +b_{3n-2}
>\frac13\ln\frac{3(3n-2)+1}{3n-2}
=\frac13\ln\left(3+\frac1{3n-2}\right)
>\frac13\ln3
>\frac13.\]

kuing

回复 7# kuing

发现项数可以减少之后，再看回4楼的，就可以改进了：
令 $T_n=b_n+b_{n+1}+\cdots +b_{3n-2}$，倒序相加得
\[2T_n=(b_n+b_{3n-2})+(b_{n+1}+b_{3n-3})+\cdots+(b_{3n-2}+b_n)
\geqslant (2n-1)\cdot\frac4{3(4n-2)-4}=\frac{2(2n-1)}{6n-5},\]
所以
\[S_n\geqslant T_n\geqslant\frac{2n-1}{6n-5}>\frac13.\]

之所以可以扯那么多，完全是因为这题就一个字：弱。

joatbmon

这个题我也做过，用的数学归纳法，就是最上面的回复那种，不过没往后面研究，觉得这个放缩太宽了，完全不理解命题人的想法