求一个函数最值 $(1+\frac1x)^x+(1+x)^{\frac1x}$

等待hxh

答案都知道是4，缺少严格的证明

realnumber

$g(x)=g(\frac{1}{x})$,只需要考虑$x\ge1$或$0<x\le 1$
导数好复杂，没找到头绪...
觉得会不会把伯努利不等式推广下？比如展开保留更多的项？x=1要取等，展开的话，也该在x=1处

realnumber

试着切线法，用了2个数据简单的，都失败了
$g(x)\le  s(x),g(x)\le r(x)$,但放缩过度，x=1处，s(x),r(x)变最小值了

kuing

突然灵感一来想到一个菊部。

令 $f(x)=(1+x)^{1+1/x}$, $x>0$，经过一番计算，可得其二阶导数为
\[f''(x)=(1+x)^{1+1/x}\cdot\frac{(1+x)\ln^2(1+x)-x^2}{x^4},\]
易证对任意 $x>0$ 恒有
\[\ln(1+x)<\frac x{\sqrt{1+x}}\riff f''(x)<0,\]
即 $f(x)$ 为上凸函数，因此它必恒不大于它的任一条切线，经过计算可知 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=4(1-\ln 2)(x-1)+4$，因此我们有
\[(1+x)^{1+1/x}\leqslant 4(1-\ln 2)(x-1)+4,\]
两边除以 $1+x$ 整理即得如下菊部不等式
\[(1+x)^{1/x}\leqslant 4(2\ln 2-1)\cdot \frac1{1+x}+4(1-\ln 2),\]
作置换 $x\to1/x$，也有
\[\left( 1+\frac1x \right)^x\leqslant 4(2\ln 2-1)\cdot \frac x{1+x}+4(1-\ln 2),\]
两式相加，即得
\[(1+x)^{1/x}+\left( 1+\frac1x \right)^x\leqslant 4(2\ln 2-1)+8(1-\ln 2)=4.\]

等待hxh

学习了，不愧是大神kuing，可否看下我那个极值点偏移问题，和以往的极值偏移有些不一样，谢谢！

力工

回复 4# kuing
Orz，太漂亮了！

kuing

4楼第一步有笔误，二阶导数那里第一项的指数里没有 1+ ，即应该改为：
\[f''(x)=(1+x)^{1/x}\cdot\frac{(1+x)\ln^2(1+x)-x^2}{x^4},\]
后面不用改。
（感谢网友 TSC999 的指出）

敬畏数学

回复 7# kuing
治学严谨！

hbghlyj

artofproblemsolving.com/community/c6h1651476p10446396
TuZo, May 31, 2018, 10:51 AM
Hint If $g(x)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ which $f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}}$, we have $g'(x)=f'(x)-\frac{1}{x^{2}}f'\left(\frac{1}{x}\right)$ so $g'(1)=0,$ and we can prove that $x=1$ is maximum point for the function $g(x)$, and $g(1)=4$.
artofproblemsolving.com/community/c6h1786808p12174073
Problem: Prove that $(1+x)^{1/x} + (1+1/x)^x \le 4$ for $x>0$.
Solution: Write the inequality as $$\frac{1}{1+x}(1+x)^{1+1/x} + \frac{x}{1+x}(1+1/x)^{1+x} \le 4.$$It is not difficult to prove that $f(x)=(1+x)^{1+1/x}, x > 0$ is concave. Thus, by letting $t = \frac{x}{1+x},$ we have $t f(1/x) + (1-t)f(x) \le f(t\frac{1}{x} + (1-t)x) = f(1) = 4$. We are done.
artofproblemsolving.com/community/c6h2124822p15485696
$f(x) = (1+x)^{1+1/x}$ is concave for x>0

$f(x)/(x+1) + (xf(1/x))/(x+1) \leq 4 \frac{(1-\ln 2) x+\ln 2}{x+1}+4 \frac{(x-1) \ln 2+1}{x+1}=4 $
artofproblemsolving.com/community/c6h1751571p11419423
math.stackexchange.com/questions/2899031
math.stackexchange.com/questions/2802904
math.stackexchange.com/questions/3777746