极值点偏移（伪证不算）

等待hxh

realnumber

觉得这类问题作编程问题还行，

kuing

和平常的漂移的差别在于这题如果函数再下移一些结论就会不成立，也就是说对数值有要求，所以要多做一些估计，除此之外还是用老套路可以了。


显然当 $x\leqslant 1$ 时 $f(x)>0$，所以两个零点都大于 $1$，又 $x_0$ 必在两零点之间，故可不妨设 $1<x_1<x_0<x_2$。

由 $f'(x)=e^{x-3}-1/x$ 得
\[\frac1{x_0}=e^{x_0-3}\geqslant x_0-2\riff x_0\leqslant 1+\sqrt2,\]
由此又得
\[\frac1{x_0}=e^{x_0-3}\leqslant e^{\sqrt2-2}<e^{-0.5}\riff x_0>\sqrt e.\]

下面就是老套路了，令
\[F(d)=f(x_0+d)-f(x_0-d),\]
其中 $0\leqslant d<x_0$，则
\begin{align*}
F'(d)&=f'(x_0+d)+f'(x_0-d) \\
& =e^{x_0+d-3}-\frac1{x_0+d}+e^{x_0-d-3}-\frac1{x_0-d} \\
& =\frac{e^d+e^{-d}}{x_0}-\frac1{x_0+d}-\frac1{x_0-d},
\end{align*}
易证 $e^d+e^{-d}\geqslant 2+d^2$，所以
\[F'(d)\geqslant \frac{2+d^2}{x_0}-\frac1{x_0+d}-\frac1{x_0-d}
=\frac{d^2(x_0^2-2-d^2)}{x_0(x_0^2-d^2)},\]
由此可见，当 $d<\sqrt{x_0^2-2}$ 时 $F'(d)>0$，又 $F(0)=0$，所以当 $d\in \bigl( 0,\sqrt{x_0^2-2} \bigr)$ 时恒有 $F(d)>0$。

下面证明 $x_0-x_1\in \bigl( 0,\sqrt{x_0^2-2} \bigr)$，由 $x_1>1$ 只需证明 $x_0-1<\sqrt{x_0^2-2}$，两边平方即证 $x_0>3/2$，前面已经证明了 $x_0>\sqrt e$，而 $e>9/4$，所以成立。

这样，我们就得到
\[F(x_0-x_1)>0 \riff f(2x_0-x_1)>f(x_1)=f(x_2),\]
且 $2x_0-x_1$, $x_2$ 都在递增区间 $(x_0,+\infty )$ 内，所以 $2x_0-x_1>x_2$，即 $x_1+x_2<2x_0$。