数列不等式

lrh2006

第（2）小题不用数学归纳法怎么证明，各位可以支支招吗

战巡

回复 1# lrh2006

易证
\[b_n=2n-1\]
由于
\[\sum_{k=1}^n\ln(1+\frac{1}{2k-1})>\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k}>\frac{1}{2}\int_1^{n+1}\frac{dx}{x}=\frac{1}{2}\ln(n+1)\]
有
\[\sum_{k=1}^n\ln(\frac{2k}{2k-1})>\frac{1}{2}\ln(n+1)\]
\[\prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k-1}>\sqrt{n+1}\]

lrh2006

回复 2# 战巡


    要用到微积分啊，有没有低级的方法？谢谢

realnumber

记$A=2\frac{4}{3}\frac{6}{5}...\frac{2n}{2n-1}$
$\frac{2k}{2k-1}>\frac{2k+1}{2k}$
$(\frac{A}{2})^2=(\frac{4}{3}\frac{6}{5}...\frac{2n}{2n-1})^2>(\frac{4}{3}\frac{6}{5}...\frac{2n}{2n-1})(\frac{5}{4}\frac{7}{6}...\frac{2n+1}{2n})=\frac{2n+1}{3}>\frac{n+1}{2}$
大概就这样

lrh2006

回复 4# realnumber


    嗯嗯，多谢多谢！

其妙

这不是糖水不等式？
还可以用n=2的贝努利放缩吧？
也等价于用数学归纳法证明
还可以构造单调数列证明

游客

\[b_n=2n-1?\]

\[\frac{2n+1}{2n}>\sqrt\frac{n+1}{n}\]