教学一个盲点，关于数列一题$a_n=pa_{n-1}+q$

realnumber

如$a_n=2a_{n-1}+1，a_1=1$,
习惯上的办法是待定系数法，记起以前同事王提到过的办法
上式n用n-1代换，相减得到数列{$a_n-a_{n-1}$}为等比数列，
推广问题$a_n=2a_{n-1}+n+1，a_1=1$,
$a_n=2a_{n-1}+3n^2+4n+1，a_1=1$等都可以依次沿用这个办法。

isee

必讲内容啊，稍统一一点的考试都考。。。。。。
kuing 在首期数学空间上也小结过。。

kuing

回复 2# isee

难得有人记得我在《憋间》写的东东

isee

回复 3# kuing


    实话说，散见n次，但系统学习的，便是那个微型整理了，很精彩，过目难忘

战巡

回复 1# realnumber

更简单的办法是这样
\[a_n=2a_{n-1}+1\]
\[\frac{a_n}{2^n}-\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^n}\]
\[\frac{a_n}{2^n}=a_1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}\]a_
同理
\[a_n=2a_{n-1}+3n^2+4n+1\]
\[\frac{a_n}{2^n}-\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}=\frac{3n^2+4n+1}{2^n}\]
\[\frac{a_n}{2^n}=1+\sum_{k=1}^n\frac{3k^2+4k+1}{2^k}\]

realnumber

o ,谢谢

abababa

其实就是线性差分方程，$a_n-pa_{n-1}=q$，当$p\neq1$时通解是$Cp^t+\frac{q}{1-p}$，代入初值算出常数$C$就可以了，如果$q$是一般的$f(t)$，最后是加上一个特解。

realnumber

鼓掌~~~，高手们看过就不一样.

其妙

其实就是线性差分方程，$a_n-pa_{n-1}=q$，当$p\neq1$时通解是$Cp^t+\frac{q}{1-p}$，代入初值算出常数$C$ ...
abababa 发表于 2017-3-25 10:05

作差以后，变成$a_{n+1}=sa_n+ta_{n-1}$类型的，其中有一个特征根为1，自然可用待定系数法来解了，
当然，最简单的就是不动点法了，