极值点偏移求参数

苏少波Daniel

2017揭阳一模的题目，求大神帮忙解第二小问

isee

差点看成2016年全国I卷的压轴题了

kuing

看来还是有必要规定一下怎么样的题目才算是漂移呀，不然凡是出现 $f(x_1)=f(x_2)$, $x_1+x_2$ 什么的就叫漂移也不太科学……

这题虽然很像2016全国I卷的压轴题，但却和它一点联系都没有，套路完全不同，不过也不难。

首先
\[f(x)=0\iff a=\frac{2-x}xe^x=g(x),\]
易证 $g(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别递减（连极值都没有，还漂什么移），且在 $(-\infty,0)$ 上的值域是 $(-\infty,0)$，在 $(0,+\infty)$ 上的值域为 $\Bbb R$，可见存在两零点当且仅当 $a<0$。

而由于两段都递减，故显然 $x_1$, $x_2$ 都关于 $a$ 递减，因此当 $x_1+x_2=2$ 时的 $a$ 值就是所求的最小值，当 $x_1+x_2=2$ 时
\[\frac{x_2}{x_1}e^{x_1}=\frac{x_1}{x_2}e^{x_2}=a
\riff a^2=e^{x_1+x_2}=e^2\riff a=-e,\]
所以 $a$ 的取值范围是 $[-e,0)$。

苏少波Daniel

是不是这样子也行？回复 3# kuing

kuing

回复 4# 苏少波Daniel

应该没什么问题

敬畏数学

$ a=\frac{(2-x)e^x}{x}=g(x), x≠0$，由于有两个零点知$ a<0 $,不妨设为$ m,n $,且$ m<0<2<n $,$ m+n\leqslant 2 $,$ 2<n\leqslant 2-m $,$ g(n)\geqslant g(2-m) $,$ \frac{(2-m)e^m}{m}\geqslant  \frac{me^{2-m}}{2-m}, m<0$, 去分母整理得，$ （2-m）^2e^{2m}\leqslant m^2e^2 $,m<0,两边开方，得$ （2-m）e^m\leqslant- me $,两边除以m,得；$ a\geqslant -e $,综上知：a的范围为[-e,0）。似乎这类似“偏移”，“假偏移”套路！哈哈。

敬畏数学

4#的做法也不错！纯粹的代数做法。