一道7次函数的恒成立问题

其妙

色k

记 $n$ 次第一类切比雪夫多项式为 $T_n(x)$，由于 $a=64$ 时 $f(x)$ 恰好是 $T_7(x)$，
那么，令 $a=64+t$，则 $f(x)=tx^7+T_7(x)$，根据 $T_n(x)$ 的性质，有 $T_7(1)=1$, $T_7\bigl(\cos(\pi/7)\bigr)=-1$，于是
\begin{align*}
\abs{f(1)}&=\abs{t+1}\leqslant1,\\
\left|f\left(\cos\frac\pi7\right)\right|
&=\left|t\cos^7\frac\pi7-1\right|\leqslant1,
\end{align*}
由此得到 $t=0$，所以 $a$ 的取值范围是 $\{64\}$。

其妙

，色k就是牛！

力工

色k不仅仅色，更多的是牛!杠杠的牛人。

色k

回复 4# 力工

然并卵