求数列的通项引发的问题

其妙

这是别人提出的问题。

Tesla35

我记得这好像是早年IMO的试题：blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101nl4b.html

其妙

回复 2# Tesla35
数列控，这个你lu没有？

Tesla35

回复 3# 其妙


    lu多了有些伤身。得缓缓

kuing

设 $f(x)=(2^x+2^{-x})/2$，令 $u_n=2f(b_n)$，注意到 $f(x)$ 与 $\cosh x$ 有类似的性质，故代入递推式得
\begin{align*}
2f(b_n)&=2f(b_{n-1})\bigl(4f(b_{n-2})^2-2\bigr)-2f(b_1) \\
&=4f(b_{n-1})f(2b_{n-2})-2f(b_1) \\
&=2f(b_{n-1}+2b_{n-2})+2f(b_{n-1}-2b_{n-2})-2f(b_1),
\end{align*}
即
\[f(b_n)+f(b_1)=f(b_{n-1}+2b_{n-2})+f(b_{n-1}-2b_{n-2}),\qquad(*)\]
若令 $b_n=b_{n-1}+2b_{n-2}$，解得
\[b_n=\frac13\bigl((-1)^n(2b_0-b_1)+2^n(b_0+b_1)\bigr),\]
而当 $b_0=0$ 且 $b_1=1$ 时恰好能使上述通项满足 $\abs{b_{n-1}-2b_{n-2}}=b_1$，所以此时的 $b_n$ 就是满足 (*) 的一个解（只要一个就够了），将它代回 $u_n$ 就是所求通项。
了解这一点后，大概就能仿着制作类似的题……