灭绝的概率

战巡

已知某一个种群有如下规律
假设当前个体总数为$n>0,n\in Z$，则下一个阶段会有两种可能：要么出生一个新个体，也就是总数变为$n+1$，有概率$P_n(n++)=\frac{n}{n+1}$；要么死亡一个个体，总数变为$n-1$，概率$P_n(n--)=\frac{1}{n+1}$
当然，若总数$n=0$，那就不会再变动了，不能出生新的，也就是该种群灭绝了

求对任意给定起始种群个体总数$n$，最终种群灭绝的概率（不管经历多少个阶段）

注：这本是个随机过程的问题，我们当然有相应办法解决，不过我想看看有没有其他办法

游客

战巡

回复 2# 游客


嗯，差不多了，跟我们的办法很像

那个极限很显然吧
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e\]