从$x^2+y^2-4x-2y+1=0$变换到$x'^2+9y'^2-2x'=0$

isee

请教，这个变换是怎样的，有几何意义么？

求曲线$x^2+y^2-4x-2y+1=0$变成曲线$x'^2+9y'^2-2x'=0$的变换是_______.

这个结果，我能从形式上硬解出来$\left\{\begin{aligned}x'&=\frac 12x,\\y'&=\frac {y-1}6\end{aligned}\right.$但想不明白其中的变换过程。

abababa

回复 1# isee

就是平移和伸缩吧，加减是平移，系数是伸缩。

isee

回复  isee

就是平移和伸缩吧，加减是平移，系数是伸缩。
abababa 发表于 2017-4-9 11:08

结合这题说下具体过程吧，谢谢。

isee

回复  isee

就是平移和伸缩吧，加减是平移，系数是伸缩。
abababa 发表于 2017-4-9 11:08

这样子么？

先向下平移1个单位，然后，先把横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再将纵坐标压缩为原来的1/6(横坐标不变）。

abababa

回复 3# isee

直接按方程解释就行了啊，按你解出的那个方程组，就是把原来图形上点$A$的横坐标变成原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标先向下平移1，再变成$\frac{1}{6}$。如果只有平移并且伸缩系数都相等，那原来的图是个圆，变换后的图还是圆，例如$x'=\frac{1}{2}x,y'=\frac{y-1}{2}$，这个方程把原来的圆还变成圆。现在伸缩系数不相等，一个是$\frac12$一个是$\frac16$，所以应该变成椭圆，$y$缩得多一点，所以椭圆方程里应该是$a$长$b$短。

isee

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直接按方程解释就行了啊，按你解出的那个方程组，就是把原来图形上点$A$的横坐标变成原来的$\ ...
abababa 发表于 2017-4-9 11:21

谢谢，明白了。

变换好像有矩阵表示的吧？能写成矩阵形式么》

abababa

回复 6# isee

这个就是把方程组写成矩阵，直接就能写出来，伸缩变换时矩阵的副对角线都是$0$，平移就是加一个矩阵。
\[\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0\\
0 & \frac{1}{6}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\-\frac{1}{6}\end{bmatrix}\]

isee

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这个就是把方程组写成矩阵，直接就能写出来，伸缩变换时矩阵的副对角线都是$0$，平移就是加一 ...
abababa 发表于 2017-4-9 13:11

    多谢，知道方向了，有空时上图书馆查查相应资料去