最值问题

hjfmhh

（1）设实数 $x, y$ 满足 $x+2 y=2$ ，则 $\sqrt{x^2+y^2}+y$ 的最小值是 $\qquad$ ．
（1）已知正数 $a, b$ 满足 $\frac{8}{a^2}+\frac{1}{b}=1$ ，则 $a+b$ 的最小值是 $\qquad$ ．
（2）在平面直角坐标系 $x o y$ 中，若动点 $P(a, b)$ 到直线 $l_1: y=x, l_2: y=-x+1$ 的距离分别是 $d_1, d_2$ ，且满足 $d_1+2 d_2=2 \sqrt{2}$ ，则 $a^2+b^2$ 的最大值是 $\qquad$ ．

色k

都是很普通难度的题啊，我就不详细写了。

(1)：$\sqrt{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+ky}{\sqrt{1+k^2}}$，自己去找合适的 $k$；

（1）：$\displaystyle a+b+k=\frac a2+\frac a2+\frac{8k}{a^2}+b+\frac kb \ge 3\sqrt[3]{2k}+2\sqrt k$，自己去找合适的 $k$；
【注】如果方程无一般公式可套，记住：只要题目不是乱出的，$k$ 肯定是简单的，请靠目测。

（2）：和前两题完全不是一个类型，因为显然P的轨迹是个棱形，最大值必在顶点上，它们的位置自己想，不说了。

敬畏数学

回复 1# hjfmhh
直接开导，搞定啊。导数还是可以的。不要怕噻，简单的。呵呵呵呵。。。。。

游客

\begin{aligned}
& \frac{8}{a^2}+\frac{1}{b}=1(a>0, b>0) \Rightarrow\left(a^2-8\right)(b-1)=8(a>2 \sqrt{2}) \\
& \Rightarrow a+b=a+\frac{8}{a^2-8}+1 \\
& \quad=\frac{2-\sqrt{2}}{4}(a+2 \sqrt{2})+\frac{2+\sqrt{2}}{4}(a-2 \sqrt{2})+\frac{8}{a^2-8}+3 \\
& \geqslant 6(\text { 当且仅当 } a=4 \text { 时取"="号 })
\end{aligned}