所有线段长度是否收敛，平均值是否收敛

abababa

给定长度为$1$的线段$AB$，在$AB$上任意取一点$C$（$C$可以等于$A$或$B$，但不能在$AB$之外，也就是$CA \le 1$且$CB \le 1$），则对于所有可行的点$C$，所有这些线段$AC$之和是否是收敛的，它们的平均值是否是收敛的。

这个没想明白怎么写所有线段之和的表达式。

色k

和难道就是 $\int_0^1 x$ 呢？没有 $\rmd x$，所以无穷大？

平均值的话，是不是就补回 $\rmd x$ 就行？俺也不懂

abababa

回复 2# 色k

我不太懂，但感觉上不对，积分的话其实就是对那个dx积分才行，没有dx其实就不是积分了。平均值为什么是$\int_0^1xdx$也不明白，就是和怎么写，除以多少来平均，都不理解。
总之我还没能理解，也不知道要怎么列出表达式来。

abababa

回复 2# 色k

但是和不收敛，可能可以这样想，只考虑自然数为分母，1为分子的分数长度，这个和不收敛，加上其它的更多的线段，肯定也不能收敛了。

abababa

回复 2# 色k

还有平均值，不知道能不能用对应的观点看，对任意一点$C$，关于中点的对称点$C'$也必定是可行点，这一对点构成的线段的平均值是$\frac{1}{2}$。对有限个数，一定有
\[\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\frac{\frac{a_1+a_n}{2}+\frac{a_2+a_{n-1}}{2}+\cdots+\frac{a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}}}{2}}{\frac{n}{2}}\]
因此平均值就是$\frac{1}{2}$，可数个和不可数个就不知道能不能这么用了。

色k

我觉得这问题本身就有问题，应该用概率统计里的随机变量啊分布啊期望啊什么的来表达啊……

abababa

回复 6# 色k

这些我就更不懂了，简单的古典概型有时我都弄不太清楚。

abababa

另外如果这题能用正确的方式表述出来，是不是也能考虑两个点的情况，$CD$两点都在$AB$内（可与端点重合），考虑所有线段$CD$的和与平均值。

其妙

回复 8# abababa
所有线段之和？
你这是不可数个的求和呀！
怎么求得出来哟！
定积分都是分割求和取极限的，也就是说，定积分是可数个和的极限。。。。
所以觉得本题的提法有问题

abababa

回复 9# 其妙

确实，我还不知道怎么用正确的方法描述这题。

zhcosin

姑且不论你这个所有线段的和是怎么定义的，假定你这个和真的有，那么它也只能是无穷大，因为它的一部分的和就是$\sum_{i=1}^{\infty}(1-\frac{1}{i})$，这就已经是个无穷大了。

kuing

求和显然是没得玩的了，无论多小的一段的和都是无穷。

平均值的话还有得说，但是显然也应该换一种方式去表达。

还是如6楼所说，应该用概率统计的东西来讲，比如数学期望就有平均的意思，与你心目中那种平均值是接近的，当然这还涉及到分布，按你心目中的意思自然是默认均匀分布了，那结果也就一样了。

具体写下来就是：线段 $AB=1$，$C$ 在线段上且随机变量 $AC$ 服从均匀分布，则 $AC$ 的数学期望为 $1/2$。

abababa

回复 12# kuing

嗯，这个一个点C的可能是这么表述吧，两个点应该怎么表述？另外如果能表述，再考虑一个问题，三个点在边长为1的正方形里，求三个点构成的三角形面积的平均值。这个什么分布和期望的，我不懂，说不明白，反正就是这个意思，看看能不能先表达清楚，然后再解。

kuing

回复 13# abababa

表述是类似的，还是去看下概率统计相关的书吧……

其实我也不是很在行，毕竟没认真学过概统，希望下面的过程没问题……

线段 $AB=m>0$，$C$, $D$ 在线段上，记 $AC=X$, $AD=Y$，设 $X$, $Y$ 互相独立且二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $[0,m]^2$ 上服从均匀分布，求 $CD$ 的数学期望。

因为均匀分布，区域面积为 $m^2$，所以概率密度恒为 $1/m^2$，故
\[E(CD)=E(\abs{X-Y})
=\iint_{[0,m]^2}\frac{\abs{x-y}}{m^2}\rmd x\rmd y
=m\iint_{[0,1]^2}\abs{x-y}\rmd x\rmd y
=2m\int_0^1\rmd x\int_0^x x-y \rmd y
=\frac m3.
\]

正方形那个也一样，我就不细写了，设三点的坐标后，就是六维随机变量 $(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3)$ 在 $[0,1]^6$ 上服从均匀分布，概率密度为 $1$，那么
\[E(S)=\idotsint_{[0,1]^6}\left|\frac12\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}\right|\rmd x_1\cdots\rmd y_3=?\]等于多少我不会算