多项式恒等式的规律

其妙

上述多项式恒等式有如下规律：
1、左边是关于（x+1）的多项式，右边是关于（x）的多项式，
2、如果左边次幂的系数为正，则右边的相应次幂的系数与左边的一样；如果左边次幂的系数为负，则右边的相应次幂的系数取为左边的相反数！

是否能给出此种类型的更高次的恒等式或一般情况？？？

kuing

你第二句话就不能简略一下……直接说右边系数为左边对应项系数的绝对值不就好了

kuing

还有，你给出的 f(x) 还有一个规律，就是左边系数都是正负交替的，有没有这一要求？

kuing

还有，你给出的 f(x) 还有一个规律，就是左边系数都是正负交替的，有没有这一要求？ ...
kuing 发表于 2013-10-18 23:36

看来应该没有这要求，否则就没什么难度了。
刚才找了一个，左边系数不正负交替的：$(x+1)^4-2(x+1)^3+(x+1)^2+4(x+1)-2=x^4+2x^3+x^2+4x+2$

其妙

一般的n次多项式呢？

isee

还真美，至少一眼猜不出来

tommywong

解线性方程即可

$\displaystyle a(x+1)^3-\frac{3a}{2}(x+1)^2+b(x+1)-(-\frac{a}{4}+\frac{b}{2})=ax^3+\frac{3a}{2}x^2+bx+(-\frac{a}{4}+\frac{b}{2})$

$
\begin{pmatrix}
-1-1 & 1\\0 & 1-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_0\\c_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\0
\end{pmatrix}
$

$
\begin{pmatrix}
1-1 & -1 & 1\\0 & -1-1 & 2\\0 & 0 & 1-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_0\\c_1\\c_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0
\end{pmatrix}
$

$
\begin{pmatrix}
-1-1 & 1 & -1 & 1\\0 & 1-1 & -2 & 3\\0 & 0 & -1-1 & 3\\0 & 0 & 0 & 1-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_0\\c_1\\c_2\\c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\0
\end{pmatrix}
$

其妙

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爪机专用

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你看懂了?

tommywong

以下再推广到$a_0 (x+k)^0+...+a_n (x+k)^n$的展开式。

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}a_{i-1}(x+k)^{i-1}= \sum_{i=1}^{n+1}x^{i-1}\sum_{j=1}^{n-i+1}C_{j-1}^{i-1}k^{j-i}a_{j-1}= \sum_{i=1}^{n+1}b_{i-1}x^{i-1}$

$
\begin{pmatrix}
b_0\\b_1\\b_2\\b_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
C_0^0 k^0 & C_1^0 k^1 & C_2^0 k^2 & C_3^0 k^3\\
0 & C_1^1 k^{1-1} & C_2^1 k^{2-1} & C_3^1 k^{3-1}\\
0 & 0 & C_2^2 k^{2-2} & C_3^2 k^{3-2}\\
0 & 0 & 0 & C_3^3 k^{3-3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0\\a_1\\a_2\\a_3
\end{pmatrix}
$

tommywong

多项式的矩阵化真奇妙。

$(x+2)(2x-5)=2x^2-x-10$

$
\begin{pmatrix}
c_0\\c_1\\c_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 0\\
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-5\\2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-10\\-1\\2
\end{pmatrix}
$

$(x+2)^3+2(x+2)^2+3(x+2)+1=x^3+8x^2+23x+23$

$
\begin{pmatrix}
b_0\\b_1\\b_2\\b_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 8\\
0 & 1 & 4 & 12\\
0 & 0 & 1 & 6\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\3\\2\\1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
23\\23\\8\\1
\end{pmatrix}
$

isee

这像是LaTex，直接丢代码上来多好

矩阵这块全部遗忘了~看不懂了~

青青子衿

这种东西可以用综合除法、二项式定理或泰勒公式解决
\[f(x)=x^4+3x^2+4
=(x-1+1)^4+3(x-1+1)^2+4\]
(用二项式定理展开得，记得系数1、4、6、4、1）
\[=(x-1)^4+4(x-1)^3+6(x-1)^2+4(x-1)+1+3(x-1)^2+6(x-1)+3+3\]
\[=(x-1)^4+7(x-1)^3+6(x-1)^2+10(x-1)+7\]

其妙

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干嘛？

青青子衿

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回复  青青子衿
干嘛？
其妙 发表于 2014-6-21 18:25

只是(ˇˍˇ） 想～说
将多项式$f(x)$表成$x-c$的方幂和
设$f(x)=b_n(x-c)^n+b_{n-1}(x-c)^{n-1}+\cdots+b_1(x-c)+b_0$
问题:如何求系数$b_n, b_{n-1},\cdots,b_1,b_0$?
因$f(x)=[b_n(x-c)^{n-1}+b_{n-1}(x-c)^{n-2}+\cdots+b_1](x-c)+b_0$
则$b_0$是$f(x)$被$x-c$除所得的余数;方括号内为商式,记作$q_1(x)$,又因
   $q_1(x)=b_n(x-c)^{n-1}+b_{n-1}(x-c)^{n-2}+\cdots+b_1
   =[b_n(x-c)^{n-2}+b_{n-1}(x-c)^{n-3}+\cdots+b_2](x-c)+b_1$
则$b_1$是$q_1(x)$被$x-c$除所得的余数;方括号内为商式,记作$q_2(x)$,如此继续,所得的余数即为$b_n, b_{n-1},\cdots,b_1,b_0$
将$f(x)=x^4- 3x^2+3$表成$x-1$的方幂和
\[\begin{gathered}
  \left. {\underline {\, 
 {\begin{array}{*{20}{r}}
  1&0&{ - 3}&0&3 \\ 
  {}&1&1&{ - 2}&{ - 2} 
\end{array}} \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}}
  1 \\ 
  {} 
\end{array} \\
  \left. {\underline {\, 
 {\begin{array}{*{20}{r}}
  1&1&{ - 2}&{ - 2}&{1\left( { = {b_0}} \right)} \\ 
  {}&1&2&0&{} 
\end{array}} \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}}
  {} \\ 
  {} 
\end{array} \\
  \left. {\underline {\, 
 {\begin{array}{*{20}{r}}
  1&2&0&{ - 2\left( { = {b_1}} \right)}&{} \\ 
  {}&1&3&{}&{} 
\end{array}} \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}}
  {} \\ 
  {} 
\end{array} \\
  \left. {\underline {\, 
 {\begin{array}{*{20}{r}}
  1&3&{3\left( { = {b_2}} \right)}&{}&{} \\ 
  {}&1&{}&{}&{} 
\end{array}} \,}}\! \right| \begin{array}{*{20}{c}}
  {} \\ 
  {} 
\end{array} \\
  \begin{array}{*{20}{c}}
  {1\left( { = {b_4}} \right)}&{4\left( { = {b_3}} \right)}&{}&{} 
\end{array} \\ 
\end{gathered} \]
$f(x)=(x-1)^4+4(x-1)^3+3(x-1)^2-2(x-1)+1$

其妙

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哦，我以为你在解决楼主的猜想呢

爪机专用

看上去是机器码。。。

其妙

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，软件做的？