求证小数点后不存在连续三个数字为$1,6,7$

abababa

$m,n$为正整数，且$n \le 100$，将分数$\frac{m}{n}$化为十进制小数，求证小数点后不存在连续三个数字为$1,6,7$。

realnumber

假设存在正整数m,n $n \le 100$，有167什么的，那么存在正整数a,b,c,d，都小于n.
有10a=n+b,10b=6n+c,10c=7n+d,（就小学的除法）---①
0<d<100此式依次根据①，消去d,c,b得到
0<10(10(10a-n)-6n)-7n<n,即0.167n<a<0.168n(因为n不超过100,则a不超过16)
即$\frac{a}{0.168}<n<\frac{a}{0.167}$
比如a=1时，有5.952=6-0.048<n<5.988=6-0.012,这样的整数n不存在
比如a=k,有6k-0.048k<n<6k-0.012k，显然0.048k,0.012k都是小于1的正实数，那么符合此不等式的n不存在，由此0.048k>1可以看出,k≥21,
k=21时，n=125但凑巧21÷125=0.168
k=22时，n=131,此时22÷131=0.16793

abababa

回复 2# realnumber

谢谢，这题网友已经给我讲了。得到$0.167n<a<0.168n$后，也可以有$167n<1000a<168n$，再乘个6就有$1002n<6000a<1008n$，然后减1000n得$2\le2n<6000a-1000n<8n\le800$，中间的数能被1000整除，说明2-800之间有一个数能被1000整除，矛盾。