转发某数列不等式问题

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已知函数 $f(x)=a\left(x-\frac{1}{x}\right)-2 \ln x$．
（I）若对于任意 $x \geqslant 1$，有 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（II）求证：$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}>2 \ln \frac{2 n}{n+1}-\frac{3}{4}$．

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第1小题这样f(1)=0,求导，必要条件是x→1+时，
f′(x)>0,可得a≥1,易得这也是充分条件，所以a≥1
配合计算器这样可以的左边1/n^2>1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1),n>=8才开始放缩，右边利用ln(1+x)<x，右边放大结果为2ln2-2/(n+1)-0.75
\begin{aligned}
& 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\frac{1}{49}+\frac{1}{8}=1.38680 \\
& 2 \cdot \ln (2)=1.38629
\end{aligned}第2题，这样放缩1/n^2>1/(n-0.43)-1/(n+0.57)
n≥2
这样左边是1/1.57-1/（n+0.57）,右边还是前面的办法，是2ln2-2/(n+1)-.75

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福建厦门郑小彬(1456----24）：

kuing

回复 3# realnumber

图太小，请重传。
PS、从QQ上保存图片的时候，先双击放大，对着大图右键另存为。

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郑小彬

yfgkey

回复 5# realnumber

（1）分子、分母不必除以x，分母直接均值就好
（2）固定套路，分析通项+（1）的结论。