关于三次多项式的根的漂亮定理

zhcosin

在维基百科上发现这么一个定理，漂亮极了


翻译过来就是，任意关于$x$的三次多项式在复数范围内有三个解，对应着复平面上的三个点，假定这三个点不共线构成一个三角形，然后对这个三次多项式求导得到一个关于$x$的二次多项式，也有两个复数根，对应在复平面上的两个点，这两个点会落在前述三角形之内，然后以这两个点为焦点，存在唯一的一个椭圆内切于这三角形，并且切点分别是三边的中点。

isee

的确很偶合

abababa

主要还是用复数乘积的那个辐角性质吧，证明觉得挺容易的。

其妙

主要还是用复数乘积的那个辐角性质吧，证明觉得挺容易的。
abababa 发表于 2017-4-26 19:31

怎么证明

abababa

回复 4# 其妙

设三个点是$z_1=-1,z_2=1,z_3=w$，然后三次多项式就是$P(z)=(z-1)(z+1)(z-2)$，$P'(z)=3z^2-2wz-1$，设以两个根$p_1,p_2$为焦点的椭圆和$-1,1$这边相切。因为$p_1p_2=-\frac13$，所以辐角和是$\pi$，就是$\angle p_1Oz_2+\angle p_2Oz_2=\pi$，但是$\angle p_1Oz_2+\angle p_1Oz_1$也是$\pi$，所以$\angle p_1Oz_1=\angle p_2Oz_2$，就是椭圆焦点到切线上一点$O$成等角，所以$O$就是切点。但是$O$是$z_1z_2$的中点，所以用$p_1,p_2$为焦点的椭圆和三角形一边相切，切点一定就是这边中点。

然后移动坐标，令$z_1=0,z_2=1,z_3=w$，同样写出$P,P'$，有$p_1p_2=\frac{w}{3}$，辐角和是$\arg\frac{w}{3}=\arg w$，就是$\angle p_1Oz_2+\angle p_2Oz_2=\angle wOz_2$，但是$\angle p_1Oz_2+\angle p_1Ow=\angle wOz_2$，所以$\angle p_1Ow=\angle p_2Oz_2$，也就是$p_1,p_2$关于点$O$是等角共轭点，而椭圆和一边$z_1z_2$相切，所以必和另一边$z_1w$也相切。再让$z_1=-1,z_2=0,z_3=w$，就得椭圆和三边都相切。最后再用前面的相切时切点必为此边中点，就是椭圆过三边中点。

hbghlyj

abababa 发表于 2017-8-16 15:46
$z_1=-1,z_2=1,z_3=w$，然后三次多项式就是$P(z)=(z-1)(z+1)(z-2)$

好像笔误了：$P(z)=(z-1)(z+1)(z-\color{#f00}w)$