数列不等式

lrh2006

已知正项数列 $\an$ 满足 $a_n{ }^2+a_n=3 a_{n+1}{ }^2+2 a_{n+1}, a_1=1$ ．
（1）证明：对任意实数 $n \in N_{+}, a_n \leq 2 a_{n+1}$ ；
（2）记数列 $\an$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：对任意 $n \inN_{+}, 2-\frac{1}{2^{n-1}} \leq S_n<3$ ．
第2问中Sn<3怎么证？请大家教教我，谢谢

realnumber

由已知递推公式得到
\[a_{n+1}=\frac{-1+\sqrt{3}\sqrt{a_n^2+a_n+\frac{1}{3}}}{3}<\frac{-1+\sqrt{3}(a_n+\frac{1}{\sqrt{3}})}{3}=\frac{a_n}{\sqrt{3}}\]
所以前n项和$S_n\le 1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}+...<\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}<3$

yfgkey

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    这种题一般不这样解方程强撸，大多是利用那个关系放缩。

realnumber

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    这种题一般不这样解方程强撸，大多是利用那个关系放缩。 ...
yfgkey 发表于 2017-4-23 09:43

继续

yfgkey

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看看这样行不？
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_n^2+a_n=3 a_{n+1}^2+2 a_{n+1}$ ．
（ I ）证明：对任意实数 $n \in N_{+}, a_n \leq 2 a_{n+1}$ ；
（II）记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：对任意 $n \in N_{+}, 2-\frac{1}{2^{n-1}} \leq S_n<3$ ．
证明：（ I ）因为 $a_n>0$ ，所以 $a_n^2+a_n=3 a_{n+1}^2+2 a_{n+1}<4 a_{n+1}^2+2 a_{n+1}$ ．
所以 $\left(2 a_{n+1}+\frac{1}{2}\right)^2>\left(a_n+\frac{1}{2}\right)^2$ ，故 $a_n \leq 2 a_{n+1}$ ．
（II）由（I）知 $a_{n+1} \geq \frac{1}{2} a_n$ ，所以 $a_n \geq \frac{1}{2} a_{n-1} \geq \frac{1}{2^2} a_{n-2} \geq \cdots \geq \frac{1}{2^{n-1}}$ ．
所以 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \geq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$ ．
因为 $3 a_{n+1}^2+2 a_{n+1}=a_n^2+a_n \leq a_n^2+2 a_{n+1}$ ，所以 $a_{n+1} \leq \frac{a_n}{\sqrt{3}}$ ．
所以 $a_n \leq \frac{a_{n-1}}{\sqrt{3}} \leq \frac{a_{n-2}}{3} \leq \cdots \leq \frac{a_1}{3^{\frac{n-1}{2}}}=\frac{1}{3^{\frac{n-1}{2}}}$ ．
所以 $S_n \leq \sum_{k=1}^n 3^{\frac{1-k}{2}}<\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}<3$ ．

realnumber

也行

lrh2006

明白了，谢谢两位！