求教：一个导数极值问题

realnumber

$f(x)$满足$(xf(x))'=\ln{x},f(1)=0$,则$f(x)$(   )
A. 有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.有极大值极小值D.无极大值极小值.


利用积分可得$f(x)=\ln{x}-1+\frac{1}{x},$所以选B.但这样没法给高中生解释，得想另外办法.

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记$h(x)=xf(x)$,易得h(x)在x=1处，有极小值，且h(1)=0,h(0+)趋于正无穷，
所以f(x)=h(x)/x,在x=1处也是极小值。
但极大值看不出有还是没有？

yfgkey

回复 2# realnumber


    直接积分就ok。我不会什么$什么的打法，直接打了。
xf(x)=xlnx-x+c，f(x)=lnx-1+c/x，f(1)=-1+c=0，c=1.
f(x)=lnx-1+1/x.
下面容易做。

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    直接积分就ok。我不会什么$什么的打法，直接打了。
xf(x)=xlnx-x+c，f(x)=lnx-1+c ...
yfgkey 发表于 2017-4-23 12:23

要求不用积分办法，浙江地区还没，1楼已经写了积分办法

yfgkey

回复 4# realnumber

$f'(x)=\frac{x \ln x-h(x)}{x^2}$
令$g(x)=x \ln x-h(x)$，则$g'(x)= \ln x+1-h'(x)=1>0$
$g(x)$单调递增，$g(1)=0$
所以$x\in(0,1)$时，$g(x)<0$，$x\in(1,+∞)$时，$g(x)>0$
所以$f(x)$在$(0,1)$上减，在$(1,+∞)$上增，在$x=1$处取得极小值，没有极大值.

realnumber

回复 5# yfgkey


    谢谢，应该是这样做.

yfgkey

回复 6# realnumber


    编辑了一下，还挺难看的

yfgkey

回复 8# isee


    多谢指点

敬畏数学

回复 1# realnumber
老题了！原式=f（x）+xdf(x)/dx=lnx;两边乘以x，xf（x）+x^2df(x)/dx=xlnx;
两边求导，有，d（x^2df(x)/dx）/dx=1，设g（x）=x^2df(x)/dx，x>0,
显然g（x）在x>0上为增函数，注意到f（x）在x=1处的导数为0，即g（1）=0，故当x∈（0,1）时，g(x)＜0，即df(x)/dx＜0；当x＞1时，g(x)＞0，即df(x)/dx＞0；且

f（x）在x=1处的导数为0，结论为B。

realnumber

有个学生陈*这样做的：
$f(x)+xf'(x)=\ln{x}$,令x=1,得$f'(1)=0$
$xf(x)+x^2f'(x)=x\ln{x}$
所以$(x^2f'(x))'=1+\ln{x}-\ln{x}=1$
所以$x^2f'(x)=x+C,$,令x=1，得C=-1
即$f'(x)=\frac{x-1}{x^2}$后面略.

色k

其实都差不多

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恩