一道立体几何选择题，对棱相等，求解

力工

真的成了力体几何啊。

kuing

补成长方体呗

那么ABC都正确，取正四面体否定D

kuing

如果我没计算错的话，设三组对棱的长分别为 $u$, $v$, $w$，记三个二面角分别为 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$，则
\[\sin\alpha=\frac{2\sqrt2u}{u+v+w}\cdot
\frac{\sqrt{(-u^2+v^2+w^2)(u^2-v^2+w^2)(u^2+v^2-w^2)}}{(-u+v+w)(u-v+w)(u+v-w)},\]
所以三个二面角的正弦之和为
\[\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma
=\frac{2\sqrt{2(-u^2+v^2+w^2)(u^2-v^2+w^2)(u^2+v^2-w^2)}}{(-u+v+w)(u-v+w)(u+v-w)},\]
不是定值。

力工

回复 3# kuing

谢谢色k，我那个两心重合怎么也看不出啊，

色k

回复 4# 力工

由对称性啊，这还用说吗？
由于任一组对棱中点连线都是其（旋转180度的）对称轴，球心必在对称轴上，所以只能是三条对称轴的交点，也就是其中心。