一道含参恒成立问题小题，寻求速解方法

wzyl1860

若关于 $x$ 的不等式 $e^x \geq a x+x^2 \ln x(a \inN)$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，则 $a$ 的最大值为

战巡

回复 1# wzyl1860


$a\in N$？？
那好办多了
首先一眼看出，当$a\ge 3$时，是不行的，因为$x=1$代进去就得跪
所以只要验证$a=0,1,2$，从$a=2$开始验证
当$a=2$时
\[f(x)=e^x-2x-x^2\ln(x)\]
\[f'(x)=e^x-2-x-2x\ln(x)=0\]
令其解为$x_0$好了，有
\[e^{x_0}=x_0+2x_0\ln(x_0)+2\]
代回去有
\[f(x_0)=x_0+2x_0\ln(x_0)+2-2x_0-x_0^2\ln(x_0)=(2-x_0)(1+x_0\ln(x_0))\]
易证$1+x_0\ln(x_0)>0$，而$f'(1)=e-3<0$，$f'(2)=e^2-4-4\ln(2)>2.7^2-4-4·0.7>0$，因此$1<x_0<2，2-x_0>0$，故有极值点处
\[f(x_0)=(2-x_0)(1+x_0\ln(x_0))>0\]
可知$a=2$是可以的，这就是最大值

wzyl1860

请教战神，有啥好办法说明导函数只有一个零点吗？

战巡

回复 3# wzyl1860

不必证明只有一个零点（尽管这是事实）
只要证明所有零点都小于2就行了
\[f''(x)=e^x-2\ln(x)-3\]
易证$x\ge 2$时，$f''(x)>0$，$f'(x)$递增，又知$f'(2)>0$，因此2以上没有0点

另：作为填空题，抢时间要紧，这种细节一般可以忽略