2017年4月金华函数、动点轨迹问题

hjfmhh

色k

\(\newcommand\arctanh{\text{arctanh}\,}\)
9、令 $g(x)=f(\tanh x)$, $x\in(0,+\infty)$，根据双曲的倍角公式，有
\[g(2x)=f(\tanh2x)=f\left(\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}\right)
=2f(\tanh x)=2g(x),\]
从而 $g(2^nx)=2^ng(x)$, $n\inN^+$，因为 $f(x)>0$，所以 $g(x)>0$，可见 $g(x)$ 必无上界，故 $f(x)=g(\arctanh x)$ 亦无上界，所以 A 正确，B 错误。

至于 C 和 D 的判断，我觉得其实这里才是本题最有意思的地方，
或许有人以为由对任意 $x>0$ 有 $g(2x)=2g(x)$ 会得出 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为正比例函数，但其实这是未必的，下面的函数也符合此条件
\[g(x)=\led
& 2x, && x\in \{2^k\mid k\inZ\},\\
& x, && x\inR^+ ~\text{且}~ x\notin \{2^k\mid k\inZ\},
\endled\]
甚至可以处处不连续不单调
\[g(x)=\led
& 6x, && x~\text{为正有理数},\\
& 9x, && x~\text{为正无理数},
\endled\]
相应的 $f(x)=g(\arctanh x)$ 也就符合原题条件且在 $(0,1)$ 上没有单调性，所以 C 和 D 都错。

游客

直线D1P与平面ABCD所成角为60度，应该是椭圆吧。

色k

回复 3# 游客

那题该怎么理解题意，我连题都读不懂的说

shidilin

Ex10 的解法，3楼的意思大概是：平面A1C1D 斜截圆锥……

游客

把正方体改成四棱柱，让∠D1DO1等于30度，那该是抛物线了吧；
但是，“用不同平面去截圆锥面得不同圆锥曲线”这个知识点已经不在高中课本了呀。

zhcosin

这里讨论下函数方程
\[ g(2x)=2g(x) \]
kk 在2楼已经指明了它并不一定是正比例函数并给出了反例，此处讨论添加何种条件后，正比例函数会是唯一解。

把函数的定义域扩展为 $\mathbb{R}$，并作代换
\[ g(x)=xf(x) \]
这里规定$f(0)=0$，那么函数$f(x)$满足
\[ f(2x)=f(x) \]
现在加条件:函数$g(x)$在$x=0$处可导，函数就只有正比例函数这唯一解了，因为$g(x)$在$x=0$处可导，等价于$f(x)$在$x=0$处连续，这就是以下的问题:

问题 设定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续函数 $f(x)$，对于任意 $x \in \mathbb{R}$都成立 $f(2x)=f(x)$，问该函数是否是常数函数?

解答 首先易知 $f(0)=0$，并且对于任意实数$x$和任意正整数$n$，有
  \[ f(x) = f \left( \frac{x}{2^n} \right) \]
  由函数$f(x)$在$x=0$处的连续性，$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，使得当$|x|<\delta$时，恒有$|f(x)|<\varepsilon$.

  任取两个不相等的实数$x$和$y$，对于上述$\delta$，必然当正整数$n$充分大时有
  \[ \left| \frac{x}{2^n} \right| < \delta, \  \left| \frac{y}{2^n} \right| < \delta \]
  因此有
  \[ \left| f \left( \frac{x}{2^n} \right) \right| < \varepsilon, \  \left| f \left( \frac{y}{2^n} \right) \right| < \varepsilon \]
  从而
  \[ \left| f \left( \frac{x}{2^n} \right) - f \left( \frac{y}{2^n} \right) \right| < 2\varepsilon \]
  即
  \[ |f(x)-f(y)| < 2\varepsilon \]
  由 $\varepsilon$的任意性，有$f(x)=f(y)$，因此函数是常数函数，并且由过程可知，函数其实保证在 $x=0$ 处连续就能保证是常数函数了。

zhcosin

回复 7# zhcosin
奶奶的，直接在
\[ f(x)=f \left( \frac{x}{2^n} \right) \]
中令$n \to \infty$就得$f(x)=f(0)$，所以是常数函数就完事了。。。。

kuing

那就干脆不作换元了，加条件：$g'(0)$ 存在。

由 $g(2x)=2g(x)$ 易知 $g(0)=0$ 且对任意整数 $n$ 有 $g(x)=2^ng(x/2^n)$，所以当 $x\ne0$ 时
\[\frac {g(x)}x=\frac {2^n}xg\left( \frac x{2^n} \right)=\frac {g\left( \frac x{2^n} \right)-g(0)}{\frac x{2^n}-0},\]
因为 $g'(0)$ 存在，所以
\[\lim _{n\to\infty }\frac {g\left( \frac x{2^n} \right)-g(0)}{\frac x{2^n}-0}=g'(0),\]
从而
\[g(x)=g'(0)x.\]

走走看看

9题的答案有两派意见：一派是A，另一派是B。
觉得两派意见都有理，不知该如何取舍。

kuing

回复 10# 走走看看

这些解析全是错的。

走走看看

回复 11# kuing


知道了，但高中老师对学生的解释也只能按照类似于这样的方式。

另外，7楼、8楼论证说f(x)是常数函数，恐怕不成立，因为除了0满足0=2*0，其他任何常数都不会满足k=2k，也就不满足题设条件了。

zhcosin

回复 12# 走走看看


    你显然没有仔细看七八楼。

敬畏数学

这么复杂的题是考博士生吗？

走走看看

回复 14# 敬畏数学


这么复杂的东西，构造不出一个符合条件的f（x），让人干着急。

走走看看

回复 15# 走走看看

还有更绕的：
$定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；$
$（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x；记函数g（x）=f（x）-k（x-1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（　　）$
$A．[1，2）        B．[\frac{4}{3},2]        C．[\frac{4}{3} ，2)        D．（ \frac{4}{3}，2）$

zybang.com/question/48f85a6fd96dec521310ff0ca70d86e8.html
mofangge.com/html/qDetail/02/g1/201406/vuq1g102621558.html

kuing

回复 16# 走走看看

更绕？这个很简单啊，因为提供了部分解析式，于是整个图很容易就画出来，和1楼的根本不是一个级别的题。

走走看看

回复 17# kuing

$1楼的题，是有点怪，有点鬼。x→0时，2f(0)=f(0),f(0)→0；而x→1时，2f(1)=f(1),f(1)→0。x在中间时，情况变化不定。$

发现10楼录错了一个东西，原文是“x→1时，f(1)→∞”，本人按自己的理解把“∞”替换成了“0”，现在改了回去。