有关对称函数

opuikl_0

考虑如下空间:

对任意这个空间里的S, 定义它的对称版本S-hat:


（1）证明如下关系式：(这是答案，我不能理解第一行的积分是怎么来的？）


（2）已知下面的两个关系式：

要求证明下面的关系式：（这是答案，我看不懂最后一行。。）

战巡

第一问是个很常用的结论：
令$\phi(x)$为$R^+$上连续的单调函数，$X>0$  $a.s.$，有
\[E(\phi(X))=\phi(0)+\int_0^{+\infty}(1-F(x))d\phi(x)\]
证明并不困难
\[\int_0^{+\infty}(1-F(x))d\phi(x)=\int_0^{+\infty}\int_x^{+\infty}dF(y)d\phi(x)\]
易证这玩意可积，由Tonelli定理知可交换积分次序
\[=\int_0^{+\infty}\int_0^yd\phi(x)dF(y)=\int_0^{+\infty}(\phi(x)-\phi(0))dF(y)=E(\phi(x))-E(\phi(0))=E(\phi(x))-\phi(0)\]

至于第二问我不知道是什么鬼东西，不同的书用不同的符号，你最好解释清楚再问

opuikl_0

回复 2# 战巡

谢谢！看明白了！

hbghlyj

战巡 发表于 2017-5-1 03:37
第一问是个很常用的结论：
令$\phi(x)$为$R^+$上连续的单调函数，$X>0$  $a.s.$，有
\[E(\phi(X))=\phi(0)+\int_0^{+\infty}(1-F(x))d\phi(x)\]
证明并不困难
\[\int_0^{+\infty}(1-F(x))d\phi(x)=\int_0^{+\infty}\int_x^{+\infty}dF(y)d\phi(x)\]
易证这玩意可积，由Tonelli定理知可交换积分次序
\[=\int_0^{+\infty}\int_0^yd\phi(x)dF(y)=\int_0^{+\infty}(\phi(x)-\phi(0))dF(y)=E(\phi(x))-E(\phi(0))=E(\phi(x))-\phi(0)\]

Unclear detail in an application of Fubini's theorem
Let $X$ be a positive r.v. and $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ be a differentiable function with a continuous derivative such that $f(X)$ is integrable. Show that $$\Bbb E[f(X)] = f(0) + \int_0^{+\infty} f'(t)P(X\geq t)\,dt.$$
Proof of an alternative form of expectation of a function of a random variable.
Let X be a positive r.v. and $f : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ a differentiable function
with continuous derivative and such that $f(X)$ is integrable. Then
$\mathrm{E}[f(X)]=f(0)+\int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(t) \mathrm{P}(X \geq t) d t$
Expected value of a function in terms of CDF