2015北大自主招生二次不等式恒成立问题

郝酒

已知$|x^2+px+q|\leq 2$对$\forall x\in [1,5]$成立，则不超过$\sqrt{p^2+q^2}$的最大整数是 __________.

realnumber

一开始猜的，p=-6,q=-7这样，二次函数在[1,5],$y=x^2-6x-7$,正好夹在y=-2与y=2之间.答案是9
后来试了下，可以这样证明
分别令x=1,3,5代入已知条件，那么有
$-2\le 1+p+q\le 2 $----①
$-2\le 9+3p+q\le 2 $---②
$-2\le 25+5p+q\le 2 $--③
比如由①②可得$-6\le p\le 2,-7\le p\le 1$.
这样配合猜测时的验证，完成了充要性的证明.

郝酒

谢谢，答案也是这样解析的，感觉不太自然。还有一篇文章说这和二倍角公式有关，所以想知道此题的背景。

力工

回复 3# 郝酒


    又是切比雪夫多项式！

游客

│x^2+px+q│在[1,5]上的最大值的最小值为2。
记 │x^2+px+q│ 在[1,5]上的最大值为 M(p,q)，则M(p,q)的最小值为2，
且此时p=-6,q=-7.    (感觉出题目的老师比较坏）

色k

回复 5# 游客

与其说坏，还不如说出题手法低级，就是对已知结论稍作包装，而且是不怀好意的，明明 p,q 是确定的，偏搞个根号还不超过什么最大整数，效果除了吓人还会误导你往距离之类的方向去想。

令 $x=3+2t$，则 $\abs t\le1$，不等式变为
\[\left| 2t^2+(p+6)t+\frac{3p+q+9}2 \right|\le1,\]
根据《数学空间》2014年第2期《一个三角恒等式与一个多项式结论》的结论，上式绝对值里的首项系数已是最大，故只能是切比雪夫多项式，即 $2t^2-1$，所以 $p=-6$, $q=7$（不是$-7$）。

而切比雪夫多项式是用三角函数倍角公式定义的，所以说这题和二倍角公式有关也是对的。

郝酒

今年转到高一，给娃搜题时看到这个帖子，发现是自己问的，尴尬。
突然觉得可以用一中基础的讨论方法，即$-2 \leq x^2+px+q \leq 2$即可。
对对称轴和区间进行讨论，得到三段p和q的不等式组，刚巧只有一组解。
这也许就是ku版说的这个背景吧，出题人可能是用这个方式的到了题，想着让娃用基本的讨论办法吧。

力工

回复 7# 郝酒
用分类讨论解决是基本功，能用切腹不等式搞是眼界高，对于我们学僧来说，都要知道，也许这就是知其然更知其何由知其所以然吧。