2017德国数学奥林匹克不等式题目

zhcosin

题目: 已知非负实数$x$、$y$、$z$满足$x+y+z=1$，求证:
  \[ 1 \leqslant \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy} \leqslant \frac{9}{8} \]

目前我只证得了左边，证明如下:
证明： 显见$0 \leqslant x,y,z \leqslant 1$，作代换
  \[ a=\frac{x}{1-yz}, \  b=\frac{y}{1-zx}, \  c=\frac{z}{1-xy} \]
  只需证明$1\leqslant a+b+c \leqslant 9/8$，在这代换下有$a,b,c \geqslant 0$，并且
  \begin{align*}
    a = {} & x+ayz \\
    b = {} & y+bzx \\
    c = {} & z+cxy
  \end{align*}
  三式相加并利用$x+y+z=1$得
  \[ a+b+c=1+ayz+bzx+cxy \]
  显然右边大于等于1，所以$a+b+c\geqslant 1$，原不等式左边得证。右边待证。

zhcosin

奶奶的，原来左边还有个瞬秒的方法:
\[ \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy} \geqslant x+y+z = 1 \]

色k

回复 2# zhcosin



另外，右边可以证加强式
\[\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-xz}+\frac{1}{1-yz}\leq\frac{27}{8}\]

hbghlyj

右边待证
zhcosin 发表于 2017-5-5 11:27

aops