来自姚佳斌的一道关于垂心的题目

zhcosin

abababa

这题很早之前就看网友做过，只是我一直都看不懂，全是矩阵，行列式什么的。

乌贼

楼主，有初等证明方法吗？发上来看看。
等价于延长$BH_1,FE$交于点$M$，作$MN\px AC$交$DP$延长线于$N$，$CA$延长线交$MN$（或$MN$延长线）于$Q$。求证$\angle IQD =\angle DNH_2$

乌贼

这个纯几何吧里很多三角形内切圆切点问题，看都看不懂
tieba.baidu.com/p/4990129475

乌贼

这个更犀利
tieba.baidu.com/p/4445079032

乌贼

一模一样的题，先记下
tieba.baidu.com/p/3557013085
相似四边形，平行四边形等角线

乌贼

是不是属于影射，那还是放入高等区吧，不然会害死人的

abababa

回复 7# 乌贼

不知道算不算射影几何，网友的证明用了齐次坐标法，稍难一点的我一直都看不太懂，简单的几个还得靠看着他当时的讲解一步步才能看懂。

乌贼

与楼主一人？

zhcosin

回复 3# 乌贼
我就是没证出来啊

abababa

回复 9# 乌贼

我吗？我不是楼主，我对不等式方面没什么兴趣做，也没什么能力做。

乌贼

回复 10# zhcosin
6楼链接里有，一模一样的题

isee

是不是属于影射，那还是放入高等区吧，不然会害死人的
乌贼 发表于 2017-6-20 15:40

    竞赛平面几何，应该与射影几何联系不大。

    这种共线共点问题，本身难度就大，我基本都不碰，哈哈。

乌贼

回复 6# 乌贼
\[ \triangle PFB \sim\triangle PEC\\LK\px BC \]

\[ \begin{align*}
&\dfrac{MP}{NP}=\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{CE}{BF}=\dfrac{ME}{NF}=\dfrac{CM}{BN}\riff\triangle CMP\sim \triangle BNP\riff\angle CPE=\angle BPF\riff\triangle PEC\sim \triangle PFB\\&\triangle EKC\sim \triangle FLB\riff \dfrac{KC}{LB}=\dfrac{CE}{BF}=\dfrac{EP}{FP}=\dfrac{CP}{BP}\riff LK\px BC
\end{align*} \]

乌贼

$ H_1,H_2 $分别为$ \triangle AC_1B_1,\triangle AFE $的垂心，则$ H_1,H_2,P,H $四点共线，$ C_1B_1 $与园$ I $相切，切点为$ Q $，则$ D,P,Q $三点共线。

乌贼

证明实在漂亮！（来自纯几何吧之慕野清流    tieba.baidu.com/p/3557013085）

连接$ PB、PC、HB、HC $，易证\[ \triangle PFB\sim \triangle PEC \]（见14楼）有\[ \begin{align*}
\angle PBF&=\angle PCE\\\angle PBH&=\angle PCH\\\dfrac{PF}{PE}&=\dfrac{FB}{EC}
\end{align*} \]
作$ \triangle AFE,\triangle ABC $的外接圆，两园交于另一点$ M $，则$ A、F、I、E、M $五点共圆，有\[ \triangle MFB\sim \triangle MEC \]得\[ \dfrac{MF}{ME}=\dfrac{FB}{EC}=\dfrac{PF}{PE} \]因此$ MP $为$ \angle FME $的角平分线，$ \angle PME=\dfrac{1}{2}\angle FAE=\angle IME $，故$ M、P、I $三点共线，延长$ MI $交另一外接圆于$ N $，则$ AN $为该外接圆直径，有\[\begin{align*}
&BN\px GH\\&BH\px NC
\end{align*} \]即$ BNCH $为平行四边形。（垂心用得巧妙啊！垂心构造外接圆）到这里知道平行四边形等角线可直接得出结论，不知道也没关系，再走一步就是。
作平行四边形$ NCPQ $，则$ BHPQ $也为平行四边形，且\[ \triangle CHP\cong \triangle NBQ \]，所以\[ \angle BNQ=\angle HCP=\angle HBP=\angle QHB \]即$ BNPQ $四点共圆，得\[ \angle BPN=\angle BQN=\angle HPC \]综上：\[ \angle IPD=\angle DPH \]

乌贼

回复 16# 乌贼
慕野清流只应用了初中知识