一道平面几何的题目

苏少波Daniel

如图片所示

hejoseph

该结论可以推广：

四边形 $ABCD$ 中，$AB=AD$，$BC=CD$，四边形为凸或凹或退化为等腰三角形均可，$2\angle EAF=\angle BAD$，$2\angle ECF=\angle BCD$，直线 $BP$、$BP$ 的交点 $P$ 在四边形 $ABCD$ 内部，求证：$\angle BPD$、$AP/CP$ 均为定值，在已知 $\angle BAD$、$\angle BCD$ 的情况下求出这两个定值。

乌贼

应该是
    $ \triangle ABC、\triangle BCE $为等边三角形，园$ O $为$ \triangle BCE $的外接圆，点$ D $为$ BC $的中点，点$ P $在劣弧$ BC $上，证明：$ AP=2PD $
的改编

乌贼

转载
    2666666.blog.163.com/blog/static/6679636420165107491436/

如图已知$RT\triangle ABC  $中，$ \angle DAB=\angle EBA=30\du  $。求证：$ \angle ADE=2\angle EAD $

证明：如图作正$ \triangle ABF $，取$ AD、BE $的交点$ O，O $即为$ \triangle ABF $的垂心，连接$ FO、FE、FD$，作$ \triangle FDE $外接圆交$ FO $于$ O_1 $，有$ \triangle EDO_1 $为等边三角形，有$ O_1 $为$ \triangle FED $外接圆圆心，有\[ \angle a=2\angle 1 \]
  这里也出现$ \angle EFD=30\du $

乌贼

回复 1# 苏少波Daniel
如图：

   以$ AE $为边作正$ \triangle AEG $，$ EG $交$ AF $于$ N $，连接$ GC $，作$ FM\perp AE $，垂足为$ M $，有$ M、N、E、F、D $五点共圆有$ \angle MDN=\angle MEN =60\du $
又$ \triangle AMF\sim \triangle ADC\riff \dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AF}{AC}$加之$ \angle MAD=\angle FAC $，故$ \triangle AMD\sim \triangle AFC\riff \angle MDA=\angle FCA $，同理$ \angle ADN =\angle ACG $，有\[ \angle FCG=\angle MDN=60\du  \]知$ \angle ACG=\angle PCB=\angle AEB $且$ \angle CPB=120\du  $
延长$ PD $至$ H $使$ PD=DH $，连接$ BH、CH $，延长$ CP $至$ J $使$ BP=PJ $，连接$ AJ、BJ $，有
$ \triangle JBP $为正三角形，四边形$ PBHC为平行四边形 $，$ \triangle AJB\cong \triangle PBC $有\[ JP=BP、JA=PC=BH 、\angle AJP=\angle HBP=60\du \riff\\\triangle AJP\cong \triangle HBP\]有\[ AP=PH \]

乌贼

正$ \triangle ABC，\triangle AEF $，$ D、G $分别为$ BC、EF $中点，则同颜色三角形相似

hejoseph

推广命题叶中豪的解法：
设 $\angle BAD=2\alpha$，$\angle BCD=2\beta$，不妨设 $\alpha\leqslant\beta$，则
\[
\angle ABC=\angle ADC=180^\circ-\alpha-\beta,\frac{AB}{BC}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha},
\]
作点 $F$ 关于 $AC$ 的对称点 $F'$，则点 $E$、$F'$ 互为 $\triangle ABC$ 的等角共轭点，由此得 $\angle BPD$ 靠近点 $C$ 那侧大小为
\[
360^\circ-\angle ABC-\angle BCD=180^\circ+\alpha-\beta,
\]
所以点 $P$ 在过点 $B$、$C$ 定角为 $180^\circ+\alpha-\beta$ 的圆弧上。

另外，当点 $E$ 为 $\triangle ABC$ 的内心时，点 $P$ 在 $AC$ 内，由角平分线定理得此时
\[
\frac{AP}{CP}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha},
\]
由此可知点 $P$ 在以点 $A$、$C$ 为定点，定比为 $\sin\beta / \sin\alpha$ 的阿波罗尼斯圆上，所以无论点 $E$ 在任何位置，都必定有
\[
\frac{AP}{CP}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.
\]

苏少波Daniel

回复 7# hejoseph


    有点高深，看着有点蒙逼的感觉

苏少波Daniel

回复 5# 乌贼


    证明120度之后好像出了些小错误。但依然对你万分崇拜，随便一行我思考好长时间才弄明白。

乌贼

回复 9# 苏少波Daniel

已更正

苏少波Daniel

回复 7# hejoseph

看了乌贼的解析，再来研究叶老师的解法才领略一二。平面几何真心难啊！

isee

回复  hejoseph

看了乌贼的解析，再来研究叶老师的解法才领略一二。平面几何真心难啊！ ...
苏少波Daniel 发表于 2017-5-20 12:18

    叶中豪 当几何顶尖领军者，把其解法发来学习下。

kuing

回复 12# isee

7楼……

isee

回复  isee

7楼……
kuing 发表于 2017-5-20 18:56

    我硬是看成了何版推广命题。。。。。