求$(\sqrt{2}+1)^{2017}-(\sqrt{2}-1)^{2017}$的个位数字

hongxian

求$(\sqrt{2}+1)^{2017}-(\sqrt{2}-1)^{2017}$的个位数字

kuing

设数列 \an 满足 $a_0=a_1=2$, $a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$，容易证明其通项为
\[a_n=\bigl(1+\sqrt2\bigr)^n+\bigl(1-\sqrt2\bigr)^n,\]
利用递推关系容易列出 \an 的个位数字构成的数列（从 $n=0$ 起）为 $\{2, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 2, 2,\ldots\}$，第 12、13 项和前两项都是 $2$，可见 \an 的个位数字是循环的，循环节为 $12$，而 $2017=168\times12+1$，所以原式，亦即 $a_{2017}$ 的个位数字也是 $2$。

hongxian

回复 2# kuing
还以为是二项式定理呢，没有想到是数列，原来\an打出来是$\an$

kuing

回复 3# hongxian

我也考虑过二项式定理，因为当年在《撸题集》第 612 页题目 4.11.26 里就用过二项式定理，但这题却不行，那题能用是因为有 5，从而有一大堆都不用管，这里全是 2，系数有没有 5 还不好说，所以只好换方向了。

PS、\an 是本论坛的自定义命令，仅在本论坛使用，其他自定义命令见置顶帖。