抽象函数问题一则

力工

已知$f(x)$是定义在$R$上的函数，对任意的实数$x$,则:
A.若$f(f(x))>f(x)$,则$f(f(x))>x$
B.若$f(f(x))>x$，则$f(f(x))>f(x)$
C.若$f(f(x))>f(x)$，则$f[f(f(x))]>f(x)$
D.若$f[f(f(x))]>f(x)$，则$f(f(x))>f(x)$
这个题从哪个角度思考？能否举反例？

力工

回复 1# 力工
答案说是C，我觉得是道多选题，应该是C，D.

zhcosin

题意不清，四个选项中，是恒成立呢，还是存在某个$x$....

力工

回复 3# zhcosin

肯定是对任意的实数x啊，这次真的是照原题一字一母地输入的。我也可以改。

kuing

回复  力工
答案说是C，我觉得是道多选题，应该是C，D.
力工 发表于 2017-5-17 09:00

既然你觉得 B 错，那从 B 错不就能推出 D 也错吗？

kuing

不过，构造反例还是有点难度的，下面还是写个完整过程吧。

对于选项 A，构造函数
\[f(x)=\led
&1, && x=0,\\
&0, && x=2,\\
&3+\abs x, && x\inR\setminus\{0,2\},
\endled\]
此时 $f(f(0))=f(1)=4>1=f(0)$, $f(f(2))=f(0)=1>0=f(2)$，
当 $x\notin\{0,2\}$ 时，因为 $3+\abs x\notin\{0,2\}$，所以 $f(f(x))=f(3+\abs x)=6+\abs x>f(x)$，
综上知 $f(x)$ 满足 $f(f(x))>f(x)$ 对 $x\inR$ 恒成立，但是 $f(f(2))=1<2$，所以 A 错；

对于选项 B，利用《撸题集》第 740 页的构造：

这样，我们有 $f(f(x))=x+1>x$ 恒成立，但 $f(f(0))=1<1.5=f(0)$，所以 B 错；

对于选项 C，因为 $f(f(x))>f(x)$ 恒成立，故可作置换 $x\to f(x)$ 得 $f(f(f(x)))>f(f(x))>f(x)$，所以 C 正确；

对于选项 D，因为 $f(f(x))>x$ 恒成立可推出 $f(f(f(x)))>f(x)$ 恒成立，则选项 B 的反例必然也是选项 D 的反例，所以 D 错。

isee

mark

看来不简单的。。

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应该是竞赛类的吧，跳过，先

力工

回复 6# kuing

谢谢！我确实想不清如何推导，本来在乱蒙C，但有人说逆否命题看D正确。我觉得好家也对。

kuing

回复  kuing

谢谢！我确实想不清如何推导，本来在乱蒙C，但有人说逆否命题看D正确。我觉得好家也对。 ...
力工 发表于 2017-5-17 20:48

那是你们的“逆否命题”没写对，而没写对的原因，正是3楼所说的“恒成立”和“存在”被你们忽略了。

D. 若 $f(f(f(x)))>f(x)$，则 $f(f(x))>f(x)$。

你们大概认为它的逆否命题是：

若 $f(f(x))\leqslant f(x)$，则 $f(f(f(x)))\leqslant f(x)$。

这看起来似乎是真命题，但问题在于，你们所忽视了的任意性已经发生了变化。

原命题详细写起来应该是这样的：

D. 若对于任意 $x\inR$ 恒有 $f(f(f(x)))>f(x)$，则对于任意 $x\inR$ 恒有 $f(f(x))>f(x)$。

所以它的逆否命题详细写起来就是：

若存在 $x\inR$ 使得 $f(f(x))\leqslant f(x)$，则存在 $x\inR$ 使得 $f(f(f(x)))\leqslant f(x)$。

这样就完全不同了，所以写命题时尽量不要把关键的逻辑用词省略。