数列不等式3

力工

已知$\{a_n\}：a_1=\dfrac{1}{2},a_n=\dfrac{a_{n-1}+\sqrt{a_{n-1}^2+4a_{n-1}}}{2}，n\geqslant 2$.
求证：1.$a_n\geqslant a_{n-1}+\dfrac{1}{2}$;
2.证明存在一个正整数$K$,当$n>K$时，恒有
$\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\cdots +\dfrac{a_{n-1}}{a_n}<n-2$.

kuing

（1）显然 $a_n$ 恒为正，故由递推得 $a_n>a_{n-1}$，故 $a_n\geqslant1/2$，故
\[a_n=\frac{a_{n-1}+\sqrt{a_{n-1}^2+4a_{n-1}}}2
\geqslant \frac{a_{n-1}+\sqrt{a_{n-1}^2+2a_{n-1}+1}}2=a_{n-1}+\frac12;\]

（2）由递推式反解出 $a_{n-1}$（又或者联系求根公式）可得
\[a_{n-1}=\frac{a_n^2}{a_n+1}=a_n-\frac{a_n}{a_n+1}
\riff \frac{a_{n-1}}{a_n}=1-\frac1{a_n+1},\]
故不等式等价于
\[\frac1{a_2+1}+\frac1{a_3+1}+\cdots +\frac1{a_n+1}>1,\]
由于
\[a_n=\frac{a_{n-1}+\sqrt{a_{n-1}^2+4a_{n-1}}}2
<\frac{a_{n-1}+\sqrt{a_{n-1}^2+4a_{n-1}+4}}2=a_{n-1}+1,\]
可知当 $n\geqslant2$ 时有 $a_n<n-1/2<n$，所以
\[\frac1{a_2+1}+\frac1{a_3+1}+\cdots +\frac1{a_n+1}
>\frac13+\frac14+\cdots +\frac1{n+1},\]
熟知调和级数发散，所以结论成立，又或者直接计算得 $1/3+1/4+\cdots+1/7>1$，所以取 $K=5$ 即可。