用向量证明角平分线定理

青青子衿

在三角形$AOB$中$OC$为$∠AOB$的角平分线段，$\vv{OA}=\vv{a}$，$\vv{OB}=\vv{b}$，则$\vv{OC}=λ\vv{a}+(1-λ)\vv{b}$,于是有$\vv{OC}=t(\frac{\vv{a}}{|\vv{a}|}+\frac{\vv{b}}{|\vv{b}|})$，则有$λ\vv{a}+(1-λ)\vv{b}=t(\frac{\vv{a}}{|\vv{a}|}+\frac{\vv{b}}{|\vv{b}|})$,从而用$\vv{a}$，$\vv{b}$,表示出$\vv{OC}$，然后证明其成比例就遇到麻烦了.

其妙

在三角形$AOB$中$OC$为$∠AOB$的角平分线段，$\vv{OA}=\vv{a}$，$\vv{OB}=\vv{b}$，则$\vv{OC}=λ\vv{a}+(1 ...
青青子衿 发表于 2013-10-19 17:23

$\lambda$和$1-\lambda$的意义弄清楚了，再用你的结果，立刻就证明角平分线定理了！

isee

这里的$\lambda=\dfrac {BC}{BA}$，由推导的式子有$\lambda=t\cdot \dfrac{1}{\abs {\vec a}},\cdots$

isee

结合1，2，3楼就把角平分线性质定理就给证出来了

方法也比“较洁”。

其实，向量证明，我觉得并不排除用几何法，如，设 $OC$的单位法向量为$\vv{\mathrm{e}},\mathrm{\vv e} \cdot \vv{OC}=0$，则
\[
\dfrac{BC}{CA}=\dfrac {\vv{BC}\cdot \mathrm{\vv e}}{\vv{CA}\cdot \mathrm{\vv e}}=\dfrac {(\vv{BO}+\vv{OC})\cdot \mathrm{\vv e}}{(\vv{CO}+\vv{OA})\cdot \mathrm{\vv e}}=\dfrac {\vv{BO}\cdot \mathrm{\vv e}}{\vv{OA}\cdot \mathrm{\vv e}}=\dfrac{BO}{OA}
\]