五元指数不等式问题

hejoseph

设 $a_i>0$，（$i=1,\ldots,5$），$s=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$，证明或否定
\[
\sum_{i=1}^5 a_i^{s−a_i}>1
\]

hejoseph

似乎弄出来了，有个更一般的结论：
设 $n$ 是大于 1 的整数常数，$a_i>0$（$i=1,\dots,n$），$s=\sum\limits_{i=1}^na_i$，则
\[
\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^na_i^{s-a_i}>1，&n\leqslant 5~时，\\
&\sum_{i=1}^na_i^{s-a_i}\geqslant n\mathrm{e}^{-(n-1)/\mathrm{e}}，&n>5~时。
\end{aligned}
\]
前一种情况在其中一个变量等于 1，其余变量无限趋近 0 时无限趋近 1；后一种情况在 $a_i=1/\mathrm{e}$（$i=1,\dots,n$）时取得等号。

hejoseph

昨天计算有些问题，现在就剩下下面这个问题了，如果解决，上面的整个问题就解决了：
设 $s$、$k$ 为常数， $1<s<3$，$0<a<1$，$k$ 是正整数，$s>ka$，求
\[
(s-ka)^{ka}+ka^{s-a}
\]
的最下确界。

realnumber

加油，这个长跑....