不等式之路：从入门到放弃

kuing

回复 20# zhcosin

这几何意义怎么来的？$PA=\sqrt{b^2-bc+c^2}$ 吗？

zhcosin

回复 21# kuing
$PA=a$, $PB=b$, $PC=c$呀
恩，似乎用通常习惯$a,b,c$表示三边不太一致。
我还没证出来。。。。

kuing

回复  kuing
$PA=a$, $PB=b$, $PC=c$呀
恩，似乎用通常习惯$a,b,c$表示三边不太一致。
我还没证出来。。。 ...
zhcosin 发表于 2017-6-15 18:08

那样的话，$AB=\sqrt{a^2+ab+b^2}$ 啊

hejoseph

如果想构造几何模型，那就构造三棱锥 $P\text{-}ABC$。

zhcosin

回复 24# hejoseph

对，我搞错符号了

kuing

回复 20# zhcosin

搞成60度三棱锥，几何意义也不是 $PA \cdot BC + PB \cdot CA + PC \cdot AB \leqslant AB^2+BC^2+CA^2$，而是 $PA \cdot BC + PB \cdot CA + PC \cdot AB \leqslant PA^2+PB^2+PC^2$。

注意由 $AB=\sqrt{a^2-ab+b^2}$ 有 $AB^2+BC^2+CA^2=2(a^2+b^2+b^2)-(ab+bc+ca)$，它大于等于 $a^2+b^2+c^2$，亦即有
\[PA \cdot BC + PB \cdot CA + PC \cdot AB \leqslant PA^2+PB^2+PC^2\leqslant AB^2+BC^2+CA^2,\]
然并卵。

至于原不等式的证明，其实是简单的，提示：用CS即变成四次schur。

zhcosin

回复 26# kuing
擦，咋老是犯错，估计近期营养不良。
我说怎么证不出来呢，无论是均值还是柯西，一放就过头，原来又是舒尔作怪，找时间跟舒尔亲密接触下。

kuing

题目 设$a,b,c \geqslant 0$，求证
\[ a\sqrt{b^2-bc+c^2}+b\sqrt{c^2-ca+a^2}+c\sqrt{a^2-ab+b^2} \leqslant a^2+b^2+c^2 \]
zhcosin 发表于 2017-6-15 14:22

还是写个过程，顺便给个刚想到的证明，尽管比较麻烦。

证法一：由CS
\[\left(\sum a\sqrt{b^2-bc+c^2}\right)^2\leqslant(a+b+c)\sum a(b^2-bc+c^2),\]
而
\[(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)\sum a(b^2-bc+c^2) = \sum a^2(a-b)(a-c)\geqslant0,\]
即得证。


证法二：由对称性不妨设 $c=\min\{a,b,c\}$，则有
\[\sqrt{b^2-bc+c^2}-b=\frac{c(c-b)}{\sqrt{b^2-bc+c^2}+b}\leqslant \frac{c(c-b)}{2b}=\frac{c^2}{2b}-\frac c2,\]
得到
\[\sqrt{b^2-bc+c^2}\leqslant b+\frac{c^2}{2b}-\frac c2,\]
同理
\[\sqrt{c^2-ca+a^2}\leqslant a+\frac{c^2}{2a}-\frac c2,\]
于是
\begin{align*}
\LHS&\leqslant a\left( b+\frac{c^2}{2b}-\frac c2 \right)+b\left( a+\frac{c^2}{2a}-\frac c2 \right)+c\sqrt{a^2+ab+b^2} \\
&=2ab+\frac{c^2}2\left( \frac ab+\frac ba \right)+c\left( \sqrt{a^2+ab+b^2}-\frac{a+b}2 \right) \\
&=2ab+\frac{c^2}2\left( \frac ab+\frac ba \right)+\frac{\frac34c(a-b)^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{a+b}2} \\
&\leqslant 2ab+\frac{c^2}2\left( \frac ab+\frac ba \right)+\frac{3c(a-b)^2}{4(a+b)},
\end{align*}
而由 $c=\min\{a,b,c\}$ 有
\begin{align*}
& a^2+b^2+c^2-\left( 2ab+\frac{c^2}2\left( \frac ab+\frac ba \right)+\frac{3c(a-b)^2}{4(a+b)} \right) \\
={}&(a-b)^2-\frac{c^2}2\left( \frac ab+\frac ba-2 \right)-\frac{3c(a-b)^2}{4(a+b)} \\
={}&(a-b)^2\left( 1-\frac{c^2}{2ab}-\frac{3c}{4(a+b)} \right) \\
\geqslant {}& (a-b)^2\left( 1-\frac12-\frac38 \right) \\
={}&\frac18(a-b)^2,
\end{align*}
这样，我们得到加强命题：设 $a$, $b$, $c \geqslant 0$ 且 $c=\min\{a,b,c\}$，则有
\[ a\sqrt{b^2-bc+c^2}+b\sqrt{c^2-ca+a^2}+c\sqrt{a^2-ab+b^2} \leqslant a^2+b^2+c^2 - \frac18(a-b)^2.\]

这个麻烦的证明用的方法其实就是《憋间》14期讲过的“作差有理化放缩法”。

zhcosin

回复 28# kuing
我消化消化

其妙

怎么没更新了？

wanhuihua

设 $a, b, c$ 为正数．
证明或否定 $\quad \sum_{c y c} a b+\sum_{c y c} \frac{a+2 b}{2(b+c)^3} \geq \frac{3}{2} \sqrt{3}$ WanHuihua20170607
类似伊朗96

色k

怎么没更新了？
其妙 发表于 2017-8-13 19:45

本帖的标题早已告诉你啦，他已经到放弃的阶段了

zhcosin

本帖的标题早已告诉你啦，他已经到放弃的阶段了
色k 发表于 2017-8-13 23:16

最近工作比较忙，没怎么上论坛，唉。。。。苦逼的程序员。。。。
等忙过这段时间再说。

其妙

本帖的标题早已告诉你啦，他已经到放弃的阶段了
色k 发表于 2017-8-13 23:16

原来如此呀？
搞一道题唤醒记忆（求下式的最小值）：
\[
\sqrt{x^2-2 x+16}+\sqrt{y^2-14 y+64}+\sqrt{x^2-16 x+y^2-14 y+\frac{7}{4} x y+64}
\]

dahool

回复 28# kuing

第二个方法，证明到最后的时候，貌似不等式方向反了？

kuing

回复 35# dahool

除了中间有两处笔误之外，并没发现哪里反了，麻烦具体指出

dahool

回复 36# kuing

对不起，是我看错了，前面按照c最小，看到后来以为c最大，