二次三项式$f(x)$不能分解为两个整系数一次式的积

abababa

二次三项式$f(x)=ax^2+bx+c$，且对整数$i = 1,2,3,4,5$有$f(i)$是素数，求证$f(x)$不能分解为两个整系数一次式的积

kuing

假设 $f(x)=g(x)h(x)$ 且 $g(x)=px+q$, $h(x)=rx+s$，其中 $p$, $q$, $r$, $s\inZ$, $pq\ne0$。

若 $k\inZ$ 且 $f(k)$ 为素数，则 $\abs{g(k)}$, $\abs{h(k)}$ 中至少一个为 $1$，故此，依题意，由抽屉原理知存在 $\{k_1,k_2,k_3\}\subset\{1,2,3,4,5\}$ 使 $\abs{g(k_1)}=\abs{g(k_2)}=\abs{g(k_3)}=1$ 或者 $\abs{h(k_1)}=\abs{h(k_2)}=\abs{h(k_3)}=1$。

对于前者，再由抽屉原理知 $g(k_1)$, $g(k_2)$, $g(k_3)$ 中至少两个值相等，这将得到 $p=0$，矛盾，后者同理，即得证。

abababa

回复 2# kuing

谢谢，原来是个抽屉原理的题，弄了一个函数的形式。