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kuing
posted 2017-5-30 15:03
无非就是各种讨论而已，挺无趣的……
若 $a\geqslant 2$，则 $x+1/x-a=0$ 有两个正数根 $x_1$, $x_2$（$x_1\leqslant x_2$），而 $x-1/x-a=0$ 则有唯一正数根 $x_3$，显然有 $x_1\leqslant x_2<a<x_3$，故此，当 $x\in[x_1,x_2]$ 时，有 $f(x)=-(x+1/x-a)-(x-1/x-a)+2x-2a=0$，与题意不符；
若 $a<2$，则上面的 $x_1$, $x_2$ 不存在，但 $x_3$ 依然存在，此时
\[f(x)=\led
&\frac2x+2x-2a, && 0<x<x_3, \\
&4x-4a, && x\geqslant x_3,
\endled\]
则 $f(x)$ 连续且必先减后增，取最小值的点还要看 $x_3$，于是再分类。
若 $a\leqslant 0$，则 $x_3\leqslant 1$，此时 $f(x)_{\min}=f(x_3)=4x_3-4a=4/x_3\geqslant 4$，也与题意不符；
若 $0<a<2$，则 $x_3>1$，此时 $f(x)_{\min}=f(1)=4-2a$，所以 $4-2a=3/2$，即 $a=5/4$。 |
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