证明一个数论不等式

TSC999

$ \displaystyle \ 0.5< c_k=\prod_{p>k+1}^{∞} (1-\frac{1}{(p-k)^2})<1。$

式中 $ p $ 为质数。$ k=1, 2, 3, ···$

abababa

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先证明对给定的$k$，$b_k=\prod_{p=k+2}^{n}(1-\frac{1}{(p-k)^2})=\frac{n-k+1}{2(n-k)}$对任意的$n$都成立，这里$p$不是指素数而是指$k+2$到$n$的所有整数。
当$n=k+2$时显然成立，假设当$n=k+m$时成立，即
\[\prod_{p=k+2}^{k+m}(1-\frac{1}{(p-k)^2})=\frac{(k+m)-k+1}{2((k+m)-k)}=\frac{m+1}{2m}\]
则当$n=k+m+1$时
\[\prod_{p=k+2}^{k+m+1}(1-\frac{1}{(p-k)^2})=\frac{m+1}{2m}\cdot(1-\frac{1}{(m+1)^2})=\frac{(m+1)+1}{2(m+1)}\]
即对$n=k+m+1$也成立，因此对任意的$n$都成立。

然后因为$b_k$有下界$0$，所以存在下确界，取极限$\lim_{n\to\infty}b_k=\frac{1}{2}$就是下确界。因为$c_k$的每一项都必在$b_k$的每一项之中，但$b_k$多乘了很多小于$1$的数，所以$c_k>b_k\ge\frac{1}{2}$。右边小于1我觉得挺显然的，因为每一项都小于1，所以积也小于1。

TSC999

原式是多个小于 1 的数相乘，所以相乘的结果小于 1。现在证明它大于 0.5。为此先证明对于自然数 m 有：
$  \displaystyle \ c=\prod_{m=2}^{∞} (1-\frac{1}{m^2})=0.5  $
这是因为：
$   c =  \displaystyle \lim_{N\to \infty} \displaystyle \prod_{m=2}^{N} (1-\frac{1}{m^2})=\\= \lim_{N\to \infty}  (1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2}) ···(1-\frac{1}{N^2})=\\=\lim_{N\to \infty}  (\frac{1×3}{2^2})* (\frac{2×4}{3^2})* (\frac{3×5}{4^2})* ··· (\frac{(N-1)(N+1)}{N^2})=\\= \lim_{N\to \infty} \frac{(N-1)!(N+1)!}{2N!^2}=\lim_{N\to \infty} \frac{N+1}{2N}=0.5。 $
由于素数是自然数的一部分，在上面这个连续自然数列中，去掉某些项（其值都小于 1）就得到 $ c_k $，可见任何一个 $ c_k $ 都大于 $ 0.5 $。