数列不等式2，请教（外一，可能再外一）

力工

已知$\{a_n\}$的通项为$a_n=\dfrac{4n^n}{(n+2)^{n+2}}$，且前n项和为$S$,试证明：(1)$a_n\leqslant \dfrac{1}{(n+2)^2}$;(2)$S<\dfrac{13}{27}$.
外一：
已知$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac{1}{2},a_n=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$，
试证明：(1)$a_n\leqslant \dfrac{3}{4\sqrt{n}}$;
(2)$a_n\leqslant \dfrac{n}{2(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots \sqrt{n})}$.

kuing

非常的简单，不码代码了

（1）当 n=1 不成立，当 n>=2 由 (1+2/n)^n>=4 即得

（2）由（1）得 S<=4/27+sum 1/(n+2)^2<4/27+sum 1/((n+1)(n+2))=13/27（求和是由2到正无穷）

力工

，厉害了word色k!我还在绕来绕去的。回复 2# kuing

力工

这个结论好宽松，能加强吗？各位大侠！我先来一个简单的。
由$(n+2)^2>(n+1)(n+3)$，加强为$S<\dfrac{4}{27}+\dfrac{7}{24}<\dfrac{11}{25}$.
如果从重要极限看，可放缩成与$e$有关的式子。

kuing

多保留几项，也不裂项放缩直接求极限，结论就会更紧了，不过没什么意思

力工

外一的两问形式上的联系太直接。

kuing

原来无声无息加了一题而且输入又有错……如果是 $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$ 的话，作个倒代换，数列就变成《撸题集》第993页题目 6.10.73