请教一个平面向量问题

yhrenwoxing

各位大神 怎么求OD的最小值

kuing

D的轨迹就是 $\triangle ABC$ 及其内部啊

isee

D的轨迹就是 $\triangle ABC$ 及其内部啊
kuing 发表于 2017-6-3 18:10

估计是学生，还没反应过来。。或者头次见这样的题。。。

===

"D的轨迹就是 △ABC及其内部啊"

有点问题，还有外部或者AB直线上，如 x=3,y=-2, ,所以，应该是将△ABC沿AB平移形成的区域

isee

用坐标法亦可以的，不过，下面用到了柯西不等的变式$$\frac {b^2}a+\frac {d^2}c \geqslant \frac {(b+d)^2}{a+c}.$$

将题中相应的坐标代入，并化简整理得$$\vv {OD}=(6-5x-2y,8-3x-9y).$$

于是\begin{align*}
\abs{\vv {OD}}^2&=(6-5x-2y)^2+(8-3x-9y)^2\\
&=\frac {(12-10x-4y)^2}4+\frac {(8-3x-9y)^2}1\\
&\geqslant \frac {\left(20-13(x+y)\right)^2}{4+1}\\
&\geqslant \frac {49}5.
\end{align*}
下略。

力工

就是坐标变换啊，

kuing

回复 3# isee

才发现你编辑了帖子，注意题目有“非负”二字

走走看看

这种类型的题目少见，画了一张线性规划图。

OD最短为O到AB的距离，OD最长为D在C点。答案是$\frac{7\sqrt{5}}{5}$。

另外检验了一下4楼，$x=\frac{2}{5},y=\frac{3}{5}$。

敬畏数学

典型向量坐标意义简单应用。

敬畏数学

回复 8# 敬畏数学
其实此题与：“平面直角坐标系中，P（x，y）满足，x+y<=1,且x，y均为非负实数，点Q（4,5），则|PQ|的范围”有区别吗？

走走看看

差不多啊。不过想不到线性规划，也难想到用不等式变形。

敬畏数学

回复 10# 走走看看
呵呵。为何一定要不等式变形？
这不是本题意图。

isee

回复  isee

才发现你编辑了帖子，注意题目有“非负”二字
kuing 发表于 2017-6-4 17:56

太操蛋了。。。。。哈哈，那4楼的最小值未必能取到。。。。。。（因为还没检验 非负）