求所有满足2^a+3^b+1=6^c的正整数对(a,b,c)

走走看看

如题。
用编程很容易找到，但从数学角度应该怎么求呢？

zhcosin

这怕不能编程吧，你总不能穷尽所有正整数吧。

abababa

回复 1# 走走看看

其实就是模同余，两边模$8$知$2^a+3^b+1\equiv(-2)^c\pmod{8}$，然后取范围，当$a,c\ge3$时$2^a\equiv(-2)^c\equiv0\pmod{8}$，而$3^b\equiv1,3\pmod{8}$，等式不能成立。
所以当$a\ge3$时必有$1\le c\le2$，即$2^a+3^b+1=6,36$，穷举得解为$(3,3,2),(5,1,2)$

当$a=2$时$4+3^b+1=6^c$，当$c\ge1$时右边能被$3$整除但左边不能，无解。

当$a=1$时$2+3^b+1=6^c$，也就是$1+3^{b-1}=2\cdot6^{c-1}$，如果$c\ge2$，右边能被$3$整除但左边不能，无解，所以必须$c=1$，这时解是$(1,1,1)$。

走走看看

你说得对！编程只能对有限范围内，比如a、b、c在200范围内进行考察。
答案也是3组，和你的一样。

你的解答很好，不过为什么mod 8 而不是 mod 9呢？有规定吗？

abababa

回复 4# 走走看看

其实只是注意到了模8时，$2^a,6^c$在$a,c\ge3$时是同余的，如果限制下来$c$的范围，也就是$1\le c\le M$，这样根据等式，右边最多是是$6^M$，左边都是正整数，就肯定能穷举出结果来。如果模3，就只能确定$a$的情况（$2^a\equiv2\pmod{3}$），这样就不好穷举了。反正数论的题我觉得还是没什么太多规律，一到具体的数字上就都是一些尝试，有时试出来了就能解，试不出来就再试其它的数。