2017年理科 课标全国卷I 第21题 导数压轴两个零点

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2017年理科 课标全国卷I 第21题（如有疑问，请以图片版为准）

已知函数$f\left( x \right) = a \mathrm{e}^{2x} + \left( a-2 \right)\mathrm{e}^x - x$．
（1）讨论$f\left( x \right)$的单调性；
（2）若$f\left( x \right)$有两个零点，求$a$的取值范围．

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第（1）问，含参数的讨论，太常规了，略。

第（2）问，通常是在（1）的讨论下，讨论最在值或者最小值……，这里分参看看——

$$f\left( x \right) = 0\iff a \mathrm{e}^{2x} + \left( a-2 \right)\mathrm{e}^x - x=0\iff a=\frac {2\mathrm{e}^x+x}{\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^x}.$$

令$\mathrm{e}^x=t>0\Rightarrow x=\ln t$，于是有：$$a=g(t)=\frac {2t+\ln t}{t^2+t}.$$

对$g(t)$求导，有$$g'(t)=\frac {(2t+1)(1-t-\ln t)}{(t^2+t)^2}$$

一眼就能得到$g(t)$在$(0,1)$单调递增，在$(1,+\infty)$单调减，于是$g(t)_{\max}=g(1)=1$，且$x>1,g(t)>0.$


于是，$$0<a<1.$$

走走看看

回复 2# isee


“g(t)max=g(1)=1，且x>1,g(t)>0.于是，0<a<1.”

由a≥1，推出0<a<1，有点不理解。

isee

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“g(t)max=g(1)=1，且x>1,g(t)>0.于是，0
走走看看 发表于 2017-6-9 11:56

    $g(t)=\frac {2t+\ln t}{t^2+t}$式子中，$t>1$时，每项均是正. 实际上$t\to +\infty$时，$g(t) \to 0$.

   另外还有$0<t<1$时，存在$t$使$g(t)<0$也没有说，如$g(1/e)<0$.

    画大致图象，数形结合。

其妙

回复  isee


“g(t)max=g(1)=1，且x>1,g(t)>0.于是，0
走走看看 发表于 2017-6-9 11:56

他其实是想说：$\mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty } g(t) = 0$

敬畏数学

这些东西都是鼓励平时多玩题就好了