2017年理科 课标全国卷I 第16题 体积最大

isee

2017年理科 课标全国卷I 第16题（若有疑问，请以图片为准）

如图，圆形纸片的圆心为$O$，半径为$5 \mathop{\rm cm}$，该纸片上的等边三角形$ABC$的中心为$O$，$D$、$E$、$F$为圆$O$上的点，$\triangle DBC$，$\triangle ECA$，$\triangle FAB$分别是一$BC$，$CA$，$AB$为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以$BC$，$CA$，$AB$为折痕折起$\triangle DBC$，$\triangle ECA$，$\triangle FAB$，使得$D$、$E$、$F$重合，得到三棱锥．当$\triangle ABC$的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：$\mathop{\rm cm}\nolimits ^3$）的最大值为_______．




不是纯几何，实是函数最值，设三角形$ABC$的外接圆的半径为$2r$，注意折叠后的三棱锥的高即$\sqrt{EA^2-4r^2}$，……，结果？还没算，哈哈。。。。。

=

继续算完，连接OE交AB于G，连接OA，于是$EA^2-4r^2=(5-r)^2+3r^2-4r^2=25-10r$，所求三棱锥的体积为$$V=\frac 13 \cdot\frac {\sqrt 3}4(2\sqrt 3 r)^2\cdot \sqrt{25-10r}=\sqrt 3\sqrt {r\cdot r\cdot r \cdot r (10-4r)\cdot \frac 52}.$$

由均值不等式，可知当$r=2$时，有最大值，反代回，有$V_{\max}=4\sqrt{15}$.

kuing

这图片版的排版咋看起来并不专业啊

isee

回复 2# kuing


    都注意这些了，说明这题是多么没有吸引力。。。

走走看看

回复 1# isee

如果等边三角形ABC的边长增大，D、E、F不是从圆中跑出来了吗？如果小的话，不是碰不上圆吗？怎么还有最大最小的说法呢？有点不明白。

isee

回复 4# 走走看看


    三个含虚线的的三角形只是等腰三角形，非正三角形。

走走看看

回复 5# isee


    明白了，谢谢！

游客

计算棱锥的高,也可以从"OF垂直平分AB"这个角度看,效果一样.
不知道有没有别的办法,不然看不出这题在干啥.这么长一个题目.