大家看看这个指数关系问题

lemondian

大家看看这个：
若 $a, b, c$ 均为正数，且 $2^a=5^b=10^c$，则有 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$；
若 $a, b, c$ 均为正数，且 $2^a=3^b=6^c$，则有 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$；
若 $a, b, c$ 均为正数，且 $2^a=4^b=6^c$，则有 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}$ 或 $\frac{1}{a}+\frac{1}{2 b}=\frac{1}{c}$
请问：（1）若 $a, b, c$ 均为正数，且 $2^a=3^b=5^c$ ，则 $a, b, c$ 有没有类似上述等式？
（2）如果问题（1）有这样的等式，有没有一般性结论？

isee

指对数基础，
把连等的结果设出来
$$a^x=b^y=c^z=t.$$
则$$\frac 1x=\log_ta,\frac 1y=\log_tb,\frac 1y=\log_tc.$$
由a，b，c的关系，建立等式。

isee

以$a=2,b=3,c=5$为例，$2\times 3>5\Rightarrow \frac 1x+\frac 1y>\frac 1z$

lemondian

回复 3# isee

得到不等式是较易的，想要的是有没有等式存在，如第3个示例这样的

色k

第三个的那等式成立吗？

其实方法就2楼那样了啊
235的话，令 $2^a=3^b=5^c=t$，则 $1/a=\log_t2$, $1/b=\log_t3$, $1/c=\log_t5$，假设 $n/a+m/b=1/c$，则 $2^n3^m=5$，满足这等式的 $m$, $n$ 都行，如 $1$, $\log_32.5$，即
\[\frac1a+\frac{\log_32.5}b=\frac1c,\]
只不过 $m$, $n$ 不可能都是有理数，所以怎么也不会像上面那些的好看了。

lemondian

回复 5# 色k


    对，我说得不够清晰，应该象你做的这样，能不能找到这样的整数（有理数？），使得其存在这样的等式

isee

回复  色k


    对，我说得不够清晰，应该象你做的这样，能不能找到这样的有理数，使得其存在这样的等式{ ...
lemondian 发表于 2017-6-11 17:10

没有$$2^n3^m=5\iff 2^n=\frac 5{3^m}\iff n=\log_2\frac 5{3^m}=\log_25-m\log_23.$$

左边有理数$\ne$ 右边无理

色k

回复 6# lemondian

2,3,5 是没的了，换一个咯，随便在 $x^my^n=z$ 里取就好了啊
比如说 $2^3\cdot 3^2=72$，即有题目：$2^a=3^b=72^c$，则 $3/a+2/b=1/c$。
反正解法就那样了，随便整