请教怎么画一个双心五边形

abababa

除了正五边形这种平凡的情况，怎么画一个双心五边形？这里双心指的是五边形要同时有内切圆和外接圆。

hejoseph

不是随便就能画的，设外接圆半径为 $R$，内切圆半径为 $r$，两圆圆心距为 $d$，令
\[
p=\frac{R+d}{r}，q=\frac{R-d}{r}，
\]
则有
\[
4p^2q^2(p-1)(q-1)=\left(p^2+q^2-p^2q^2\right)^2。
\]
根据上面的关系确定任意两个量，第三个量就可以计算出来，再画图就容易了，但这需要解高次方程的。

hejoseph

参考资料
mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

abababa

回复 2# hejoseph


谢谢，用软件算了几个解，当$R>2r$时，算出几个简单的解，但都只能画出内接三角形，另两条边是与三角形重合的，当$R<2r$时算出的$d$就不那么简捷了，这时才能画出五边形。

hejoseph

把 $R$、$r$、$d$ 代入那个式子，因式分解后，简单的那个因式是三角形的情形，复杂的那个因式才是五边形的情形，一般不会有简单结果的。

hbghlyj

回复 3# hejoseph
请问这篇《中等数学》上的文章中的结尾的猜想是否成立呢?
对欧拉公式一个推广形式的猜想_张峻铭.pdf (298.22 KB, Downloads: 58)

2022-4-25 23:35 Upload

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对于双心$n$边形,$R、r、d$满足关系式$ d^{2}= R^{2}+f(n) r^{2}- \sqrt[n-2]{(2 R r)^{n-2}+\left(f(n) r^{2}\right)^{n-2}}$
其中,$f(n)$的值可以通过$d=0$时,$r=R\cos\fracπn$解得.