数列题目，有没有简便方法？

aishuxue

2013常州调研测试：
已经数列$\{a_n\}$是等差数列,$a_1+a_2+a_3=15$,数列$\{b_n\}$是等比数列,$b_1b_2b_3=27$.
(1)问略,(2)若$a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3$均为正整数且成等比数列，求$a_3$ 的最大值.

kuing

“麻烦”的方法怎么做的？

aishuxue

（2）设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的公比为 $q$ ，则 $a_1=5-d, b_1=\frac{3}{q}$ ， $a_3=5+d, \quad b_3=3 q$.

因为 $a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3$ 成等比数列，所以 $\left(a_1+b_1\right) \cdot\left(a_3+b_3\right)=\left(a_2+b_2\right)^2=64$ ．
设 $\left\{\begin{array}{l}a_1+b_1=m \\ a_3+b_3=n\end{array}, m, n \in N^*, m n=64\right.$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}5-d+\frac{3}{q}=m \\ 5+d+3 q=n\end{array}\right.$ ，整理得，$d^2+(m-n) d+5(m+n)-80=0$ ．
解得 $d=\frac{n-m+\sqrt{(m+n-10)^2-36}}{2}$（舍去负根）．
$\because a_3=5+d, \therefore$ 要使得 $a_3$ 最大，即需要 $d$ 最大，即 $n-m$ 及 $(m+n-10)^2$ 取最大
值．$\because m, n \in N^*, m n=64$ ，
$\therefore$ 当且仅当 $n=64$ 且 $m=1$ 时，$n-m$ 及 $(m+n-10)^2$ 取最大值．
从而最大的 $d=\frac{63+7 \sqrt{61}}{2}$ ，