一道三次不等式问题

力工

若$a，b，c≥-5, 且a³ + b³ + c³≤3,求证：a + b + c≤3$.

kuing

好懒的代码


话说，你确定变量下界是 $-5$ 而不是 $-2$？

力工

回复 2# kuing

不知道，也是别人甩给我的，请k神用下界$-2$展示下神技。

kuing

回复 3# 力工

-2的话切线法瞬秒，-5的话好像也成立，但证明可能要讨论，暂时懒得想……

kuing

原来这个 $-5$ 是最佳的，再小一丁点都不行。

首先，要证原命题，只需证其逆否命题，即：若 $a+b+c>3$，则 $a^3+b^3+c^3>3$。

而要证这个逆否命题，又只需证明这个命题：若 $a+b+c=3$，则 $a^3+b^3+c^3\geqslant3$，这是因为当 $a+b+c>3$ 时存在 $t\in (0,1)$ 使 $ta+tb+tc=3$，若此命题成立，则 $(ta)^3+(tb)^3+(tc)^3\geqslant3$，即 $a^3+b^3+c^3\geqslant 3/t^3>3$。

现在来证这个命题，由条件可设 $a=-5+x$, $b=-5+y$, $c=-5+z$, $x$, $y$, $z\geqslant0$，则 $x+y+z=18$，要证的不等式为
\[(-5+x)^3+(-k+y)^3+(-k+z)^3\geqslant 3,\]
齐次化即
\[\sum\bigl(-5(x+y+z)+18x\bigr)^3\geqslant 3(x+y+z)^3,\]
展开就是
\[1944\sum x(x-y)(x-z)\geqslant0,\]
即得证。

注：\schur 不等式有两个取等条件，在这里就是 $x=y=z=6$ 和 $(x,y,z)=(0,9,9)$ 及其轮换，因此原不等式也有两个取等条件 $a=b=c=1$ 和 $(a,b,c)=(-5,4,4)$ 及其轮换，所以如无意外变量下限 $-5$ 是最佳的，当然，严格地证明这一点也是可以的，但是懒得写了。