三角形、正方形等直线型图形能不能用一个不等式表示

abababa

圆、椭圆都能用一个$f(x,y)\le 1$来表示，三角形、正方形这些肯定能用线性不等式组表示，能不能也像圆那样，用$f(x,y)\le w$来表示？

kuing

正方形倒是简单，比如 $\abs x+\abs y\leqslant c$，然后作平移、旋转变换可得任意正方形。

如无意外地，$\abs{A_1x+B_1y+C_1}+\abs{A_2x+B_2y+C_2}\leqslant w$ 可表示任意平行四边形。

zhcosin

这个问题本质上是能不能把一个不等式组转化成一个等价的不等式，这个是可以的，只是没啥实用价值，假如不等式组是
\[ f_i(x, y) \geqslant 0, \  i=1,2,\ldots,n \]
则等价的不等式(实际上是等式)是
\[ \sum_{i=1}^n (|f_i(x,y)|-f_i(x,y))^2 = 0 \]
如果非要不等式也是可以的，只是有些无聊
\[ \sum_{i=1}^n (|f_i(x,y)|-f_i(x,y))^2 \leqslant 0 \]
甚至不依赖于绝对值也是可以的，只是更加无聊
\[ \sum_{i=1}^n (\sqrt{f_i^2(x,y)}-f_i(x,y))^2 \leqslant 0 \]

abababa

原来最后还是变回了绝对值的形式，这样求导什么的都不好做了。而三楼那个表达式本来就是0吧，恒等于0，用处不太大。

hejoseph

《一般折线几何学》这本书有讨论如何用绝对值方程表示多边形，你可以找来看看。

isee

回复 2# kuing


    第一反映也是如此。不过，从楼主最后的要求来看，为了好求导，似乎走的高等数学方向

isee

回复 5# hejoseph


    《一般折线几何学》 搜索了一下，看介绍不错

abababa

目录里那个k号心的之前看过，其它好几个都没听说过。