一道多变量范围试题

aishuxue

16-17盐城市高二期末考试试题
已知$a>0,b>0,0<c<2,ac^2+b–c=0$,求$\dfrac1a+\dfrac1b$的取值范围。

kuing

有难度咩？

易知 $a$ 可以趋向 $0$ 所以无最大值，最小值由
\[\frac1a+\frac1b=\frac{c^2}{ac^2}+\frac1b\geqslant
\frac{(c+1)^2}{ac^2+b}=\frac{(c+1)^2}c\geqslant 4,\]
当 $a=b=1/2$, $c=1$ 时取等。

PS、又见全角减号。

isee

回复 2# kuing


     不用介意，楼主基本上是问完就走的，，，，，，

isee

搞个学生喜欢的——

$$ac^2+b-c=0\iff ac+\frac bc=1.$$于是$$\frac 1a+\frac 1b=\left(\frac 1a+\frac 1b\right)\left(ac+\frac bc\right)=c+\frac {ac}b+\frac b{ac}+\frac 1c\geqslant 4.$$

色k

回复 4# isee

要学生喜欢的话，这样可能更好：
\[c=ac^2+b\ge2\sqrt{ab}c\riff \sqrt{ab}\le\frac12\riff \frac1a+\frac1b\ge\frac2{\sqrt{ab}}\ge4.\]

isee

回复 5# 色k


    嗯，实际是调和均值，也自然……

aishuxue

回复 2# kuing
不好意思，谢谢kuing!