一个三角形中的边角不等式

力工

在$\triangle ABC$中，证明：$$\sum_{A,B,C}((2sinA-\sqrt{3})b^3c^3)\leqslant 0$$.

kuing

原来很简单，而且次数可推广。

显然 $(x-y)(x^k-y^k)\geqslant 0$ 对任意正数 $k$, $x$, $y$ 恒成立，即
\[\frac{x-y}{x^k}\leqslant \frac{x-y}{y^k},\]
令 $y=\sin60\du$，再令 $x=\sin A$ 等相加得
\[\sum\frac{\sin A-\sin60\du}{\sin^kA}\leqslant \frac{\sin A+\sin B+\sin C-3\sin60\du}{\sin^k60\du}\leqslant 0,\]
故
\[\sum(\sin A-\sin60\du)\sin^kB\sin^kC\leqslant 0,\]
即
\[\sum\bigl(2\sin A-\sqrt3\bigr)b^kc^k\leqslant 0.\]