张角最大值

yhrenwoxing

设椭圆长轴顶点为A.B，点M在椭圆上，求证当点M为短轴顶点时，角AMB最大

isee

回复 1# yhrenwoxing


    这个应该和与焦点时类似，楼主卡在哪儿了，发过程看看。。

色k

斜率之积为定值，于是用到角公式及均值即可。

isee

回复 3# 色k


    我刚想到到角公式，主要是那双曲线中的到角。。。。。。不知道参数方程会不会计算好算些。


PS:期末考试完了，这会真无聊。。。。。

yhrenwoxing

回复 2# isee


    那个焦点三角形的张角好证
但这个用余弦定理能证吗

yhrenwoxing

回复 4# isee


    感觉还是用到角公式简单些

abababa

回复 1# yhrenwoxing

设动点是$M(x,y)$，则这个角一定是$x,y$的函数，进一步由于$x,y$满足椭圆方程，所以角一定是$y$的函数，由对称性，不妨设点$M$在第一象限，在横轴的投影是点$N(x,0)$。

然后$\tan\angle AMN=\frac{a+x}{y},\tan\angle BMN=\frac{a-x}{y}$，所以$\tan\angle AMB=(\frac{a+x}{y}+\frac{a-x}{y})/(1-\frac{a+x}{y}\frac{a-x}{y})=\frac{2ay}{(x^2+y^2)-a^2}=\frac{2a}{(1-\frac{a^2}{b^2})y}$，是$y$的增函数，而以椭圆中心为圆心半径$a$作圆，必定将椭圆包含在里面，所以$\angle AMN>\frac{\pi}{2}$，在$(\frac{\pi}{2},\pi)$的区间中，$\tan\angle AMN$是单调增加的，最大值就在$y$的最大值处取得，因此就是短轴的顶点。

zhcosin

这玩意不是老掉牙了么，作以AB为弦的圆，显然圆心在y轴上，让圆心从原点出发沿y轴远离原点，则此时圆与椭圆除AB外还有交点，圆心距离原点越远，则这交点对AB的张角越大，于是当圆与椭圆相切于短轴端点时，张角最大。

kuing

这玩意不是老掉牙了么，作以AB为弦的圆，显然圆心在y轴上，让圆心从原点出发沿y轴远离原点，则此时圆与椭圆 ...
zhcosin 发表于 2017-6-30 10:30

直观看上去是这样，但严格来说缺少必要的证明，比如至少要证明在相切于短轴端点之后圆心继续远离时不会再有除AB外的交点。
也就是要证明不存在像下图这样的情形

isee

回复  isee


    那个焦点三角形的张角好证
但这个用余弦定理能证吗
yhrenwoxing 发表于 2017-6-29 21:26

余弦还真难算，至少我没突破。

isee

写着试一试，此题结果非常明显。


楼上——7楼的过程——实际是都是算的正切，基于此，以椭圆的参数形式+余弦定理，来试试。



设$P(a\cos \theta，b\sin theta)$,其中$\theta$为参数，即椭圆的离心角。
在三角形$AMB$中，$OM$为其中线，于是(我这里用的中线向量表达式，平方，再由余弦定理消向量点积而来）$$4MO^2=2MA^2+2MB^2-AB^2\Rightarrow=AM^2+BM^2=2OA^2+2OM^2.$$
\begin{align*}
\cos \angle AMC&=\frac {AM^2+BM^2-4OA^2}{2AM\cdot BM}\\
&=\frac {OM^2-OA^2}{AM\cdot BM}(<0)\tag{01}\label{eq01}
\end{align*}
如果分母由两点距离公式硬算的吧，似寻不通。故而想办法整体“代换”掉$$AM\cdot BM\sin \angle AMB=2a\cdot \abs{b\sin \theta)}\Rightarrow AM\cdot BM=\frac{2ab \abs{\sin \theta}}{\sin \angle AMB}.$$

代回\eqref{eq01}，有
\begin{align*}
\cot \angle AMC&=\frac{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta-a^2}{2ab\abs{\sin \theta}}\\
&=\frac {b^2-a^2}{2ab}\abs{\sin \theta}
\end{align*}

至此完全明朗化。

isee

余切函数在$(\mathrm \pi/2,\mathrm \pi)$单调递减，于是$\abs{\sin \theta}=1$时，张角AMB最大，即此时，点M与短轴顶点重点.

晕，楼上写成AMC了，不改了。


======

另外，对短轴$B_1B_2$(长轴$A_1A_2$)的张角，同样可得$$\cot B_1PB_2=\frac {a^2-b^2}{2ab}\abs{\cos \theta}\Rightarrow \cot^2 A_1PA_2+ \cot^2 B_1PB_2=\frac{e^4}{4-4e^2}.$$





定值!

绝对是老掉牙的东西了，我第一次知道，，，，，，这个结果有点意思，嗯，你们快来给评分加威望，嘿嘿。

isee

    那个焦点三角形的张角好证
但这个用余弦定理能证吗
yhrenwoxing 发表于 2017-6-29 21:26

可以，说起来，还用到三次余弦定理（中线长公式可由两次余弦定理求出）。

isee

设动点是$M(x,y)$，则这个角一定是$x,y$的函数，进一步由于$x,y$满足椭圆方程，所以角 ...
abababa 发表于 2017-6-29 22:04

    哎，把y换成参数形式就是我推导那个玩意……我就只消x去了，难怪麻烦。。。。

敬畏数学

此题需要玩这么复杂吗？

isee

回复 15# 敬畏数学

第一，自娱自乐一下啦。
第二，其次全程证明也有代表性与普适性的，玩着玩复杂了，是偶的错；需要不需要具体的证明 ，这个全看心情，哈哈。